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Cette fiche est un complément à la leçon sur les nombres rationnels. Il est conseillé d'avoir lu et compris cette leçon avant de commencer cette fiche.
Vous trouverez ici un certain nombre de points concernant la multiplication que j'ai choisi de ne pas traiter dans la leçon car ils ne m'y semblent pas indispensables.

La multiplication

Avant de commence, voici une petite chose qu'il est bon de savoir :

Comme la multiplication est l'opération la plus utilisée (avec l'addition) et que les mathématiciens sont fainéants, il arrive souvent qu'on ne note pas le signe ×. Par exemple, on notera souvent au lieu de . Ou alors (2+3)(4+5) au lieu de (2+3)×(4+5). Bien entendu, il faut que la notation soit sans ambiguïté : on ne peut pas écrire la multiplication 4×7 juste 47 sinon on confond avec le nombre 47 (quarante-sept) alors que 4×7=28 !
C'est un peu déconcertant au début de voir le signe × disparaître, mais on s'y fait finalement assez rapidement.

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Le rectangle

Le rectangle est une des représentation les plus courantes et les plus utiles de la multiplication.

Rappelez-vous, dans le chapitre sur les nombres rationnels, nous avions parlé d'un jardinier qui plante 5 rangées de 6 arbres :

Le nombre total d'arbres est alors le résultat de la multiplication 5×6 = 30.

Prenons plutôt des petits carrés de coté 1cm et de surface 1cm² : . La multiplication précédente se représente alors de la façon suivante :

Il y a 30 petits carrés dans cette figure. On peut aussi dire que le grand rectangle à une surface de 30 cm².
Le signe cm² se lit centimètre carré et est une unité de mesure de surface : 1cm² est la surface d'un carré de 1cm de coté. Pour l'instant, c'est tout ce que je vous demande de savoir sur le calcul de surfaces. Nous reviendrons plus en détail sur ces choses là dans les leçons de géométrie.

Plus généralement, la multiplication se représente comme étant la surface d'un rectangle de largeur et de longueur . (Ou de largeur et le longueur : souvenez-vous de la commutativité.)

Remarquez que comme ça, on n'a pas l'impression d'avoir dit grand chose. Et pourtant, nous venons de faire un grand pas en avant ! Dans la leçon, sur les nombres rationnels, je vous ai montré ce qu'était la multiplication de deux nombres entiers. Seulement un peu plus tard sont venus les nombres à virgule. Alors comment faire des multiplications de nombres à virgule ?

Maintenant que nous avons notre représentation par des rectangles, la réponse est toute simple : il est possible de tracer un rectangle dont les cotés ne sont pas des nombres entiers, il suffit donc de calculer l'aire de ce rectangle pour avoir le résultat de la multiplication.

Prenons pour exemple la multiplication 3,5×4,1. Dessinons le rectangle :

• Il y a douze carrés entiers.
• Ensuite, il y a quatre demi carrés, chacun a une surface de 0,5cm², ce qui donne la surface de deux carrés entiers (0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 = 2).
• Puis trois dixièmes de carrés de 0,1cm² chacun soit un total de 0,3cm².
• Et enfin, il reste un demi dixième de carré (ou un dixième de demi carré c'est comme vous préférez ) soit une surface de 0,05cm².

Total : 12 + 2 + 0,3 + 0,05 = 14,35. Donc 3,5×4,1 = 14,35. En image ça donne ça :

Maintenant nous savons ce qu'est la multiplication de deux nombres réels. Ceci dit, l'exemple précédent était simple car il n'y avait qu'un seul chiffre après la virgule. S'il y en a plus, voir une infinité, le calcul devient vite très pénible !

Pour faire concrètement le calcul d'une multiplication, on n'est pas obligé de dessiner un rectangle à chaque fois. Nous allons voir à la fin de cette fiche qu'il existe une méthode plus rapide basée sur la distributivité.

Comme si on en avait pas assez de la commutativité, voilà la distributivité !! C'est quoi encore ce nom à coucher dehors ?

C'est ce que nous allons voir dans la partie suivante .

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La distributivité

Pour avoir une distributivité, il faut deux opérations : celle qui est distributive et celle sur laquelle la première est distributive. En ce qui nous concerne, il s'agit de la multiplication et de l'addition. La multiplication est distributive sur l'addition.

La distributivité est une propriété qui apparaît quand on multiplie des additions. Comme d'habitude, rien de tel qu'un petit exemple.

Vous achetez dix paquets de caramels mous. Dans chacun d'entre eux, il y a trois caramels parfumés à la vanille et cinq au chocolat. Combien de caramels avez-vous au total ?

Premier raisonnement	Deuxième raisonnement
Il y a 3+5 caramels dans chaque paquet, puis il y a 10 paquets.	Il y a 10×3 caramels parfum vanille et 10×5 caramels parfum chocolat.
Résultat : Il y a 10×(3+5) caramels.	Résultat : Il y a 10×3 + 10×5 caramels.
Conclusion : 10×(3+5) = 10×3 + 10×5

C'est cela que l'on nomme la distributivité. Ici, le nombre 10 est appelé un facteur que l'on distribue sur l'addition 3+5.

Ou encore :

À partir de maintenant, je vais utiliser des des et des (voir même des , des , des et tout l'alphabet si nécessaire... ). Maintenant vous êtes grands, alors je passe à une écriture plus abstraite .
Vous avez aussi certainement remarqué, comme je vous l'avais annoncé au début de la fiche que j'oublie de noter le signe × de la multiplication.

Bon, passé ces petits étonnements, vous voyez que la formule que j'ai écrite est exactement la même que celle que nous avions précédemment avec les caramels mous. C'est la distributivité tout simplement.

Ici, le facteur est , que l'on distribue sur l'addition .

Cette formule s'éclaire si on pense à représenter les multiplications par des rectangles.
Voici un rectangle de largeur et de longueur :

La surface totale du rectangle est la somme des surfaces des deux petits rectangles.

La représentation en rectangle est bien utile et permet de visualiser agréablement les choses. Cependant, dans la prochaine partie nous verrons qu'elle peut devenir pénible voir impossible à utiliser quand on veut utiliser la distributivité dans des cas plus complexes que le précédent.

Pour cette raison, je vous conseille de bien retenir la première représentation de la distributivité :

Revenons à nos caramels mous.

Ça va ? Pas trop embrouillés entre la commutativité et la distributivité ? Retournez tout ça plusieurs fois dans votre tête, il n'y a rien d'extraordinaire, tout cela est très logique. Le calcul n'est pas une chose très réjouissante mais il faut en passer par là car mine de rien, cette distributivité va nous être sacrément utile dans la suite !

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Développons ! Factorisons !

Vous avez maintenant compris ce qu'est la distributivité. Mais c'est une notion encore toute fraîche dans votre esprit, et pour pouvoir en saisir tout l'intérêt et l'utiliser à bon escient, il va falloir faire un peu de gymnastique ! Nous allons décortiquer la distributivité et la mettre en oeuvre sous toutes les coutures.

Revoilà la première forme de la distributivité telle que nous l'avons vue dans la partie précédente.

Vous pouvez remarquer quelque chose d'amusant : à gauche dans l'égalité, on multiplie une addition, tandis qu'à droite, on additionne des multiplications. En bref, on passe d'un produit de somme à une somme de produits. En mathématiques, on aime bien ce genre de situations symétriques qui s'énoncent comme un jeu de mots, et personnellement j'adore ça. Ça sonne bien .

Dans cette partie, nous n'allons faire que ça : transformer des produits de sommes en sommes de produits et vice versa. Et cela, bien entendu grâce à la distributivité.

Commençons par un petit point de vocabulaire :

• Un produit de sommes s'appelle une expression factorisée.
  Par exemple : .
• Une somme de produits s'appelle une expression développée.
  Par exemple :

Quand on transforme une expression factorisée en expression développée, on dit qu'on développe.
Quand on transforme une expression développée en expression factorisée, on dit qu'on factorise.

Résumé en dessin :

Quoi ? Mais le qui est tout seul, ce n'est pas une somme ?

Si ! On considère que tout seul est la somme d'un seul nombre ! est la somme de deux nombres, est la somme de trois nombres... et tout seul est la somme de un nombre. Ça peut être un peu déroutant au début d'appeler une somme une expression où il n'y a pas d'addition concrètement, où il n'y a pas le signe +. Mais vous verrez on s'y fait vite et cela fini par être tout à fait naturel.

De la même façon, un nombre tout seul est aussi le produit d'un seul nombre. Donc par exemple, est une expression développée car est considéré comme un produit.

Développons

Bon ! Il est décidément temps de passer aux choses sérieuses. Prenons une expression factorisée que nous allons tenter de développer (grâce à la distributivité bien sûr !)

Nous allons développer ça en trois étapes. Concentrez vous bien, c'est maintenant qu'il faut suivre.

Première étape : Nous allons considérer (a+b) comme un seul nombre et le distribuer sur l'addition (c+d). On obtient :

Deuxième étape : Nous allons distribuer c sur (a+b).

Troisième étape : On distribue d sur (a+b).

Et voilà messieurs dames une magnifique expression développée !

Conclusion, nous avons donc maintenant notre expression sous sa forme factorisée et sous sa forme développée :

Vous vous rappelez certainement qu'une multiplication se représente par un rectangle. (Sinon, vous avez vraiment la mémoire courte .)

Voyons voir ce que ça donne si on représente notre multiplication par un rectangle :

Vu comme ça, vous avouerez que c'est plus clair.

Oui, c'est plus clair. Mais alors, pourquoi tu ne nous as pas parlé tout de suite du rectangle au lieu de faire ton calcul indigeste qui utilise trois fois la distributivité ?!

Parce que la représentation en rectangle convient parfaitement pour multiplier deux nombres mais devient plus compliquée quand on multiplie trois nombres ou plus.

En fait, pour multiplier trois nombres un rectangle ne suffit plus, il faut un parallépipède rectangle, un pavé quoi. Par exemple la multiplication 3×7×4 se représente comme ceci :

Le résultat de la mutiplication n'est cette fois plus la surface, mais le volume ainsi obtenu. Si vous comptez, dans le dessin précédent, il y a 3×7×4 = 84 petits cubes de coté 1cm.

Vous comprenez alors qu'il devient compliqué de tracer un parallépipède qui se découpe en une multitude de petits morceaux à chaque fois que l'on veut développer ou factoriser une expression.

Et ce n'est pas tout ! Si on veux développer un produit de quatre addition, un parallélépipède ne suffit plus mais il faut cette fois dessiner une figure géométrique de la quatrième dimension !

Bon puisque j'en ai parlé, essayons maintenant de développer une expression factorisée de trois termes.

Pfou ! On a du pain sur la planche.

Pour développer une expression, il existe deux méthodes :

• La première, c'est celle que nous avons vue jusque là. Elle consiste à appliquer la distributivité plein de fois de suite jusqu'à ce qu'on obtienne une expression développée. Cette méthode marche parfaitement mais est un peu longue.
• La deuxième méthode est plus rapide puisqu'elle permet de trouver l'expression développée en un seul coup. Cependant il faut réfléchir un peu pour comprendre pourquoi cette méthode donne bien le bon résultat. Mais une fois qu'on a compris c'est beaucoup plus simple à utiliser.

Mais avant de vous expliquer cette deuxième méthode, je vais faire rapidement la première. (Et encore je suis gentil, j'aurais pu ne pas la faire du tout car vous devez maintenant être capable de faire ça tous seuls comme des grands .)

Première méthode :
Première étape : On considère (a+b)(c+d) comme le facteur et on le distribue sur (e+f)

Deuxième étape : Dans le premier terme, on distribue (a+b)e sur (c+d) et on obtient :

Le fait que le (a+b) et le e soient répartis de chaque coté du (c+d) ne change strictement rien au calcul puisque la multiplication est commutative. À la place de (a+b)(c+d)e on pourrait écrire (a+b)e(c+d) et on se retrouve avec le schéma habituel pour distribuer : on distribue le facteur (a+b)e sur l'addition (c+d).

Troisième étape : Dans le premier terme, on distribue ce sur (a+b) et on obtient :

Bon je crois que vous commencez à comprendre donc je passe rapidement sur les étapes suivantes :

Quatrième étape :

Cinquième étape :

Sixième étape :

Septième et dernière étape (ouf !) :

Si vous en avez le courage, vérifiez que vous êtes d'accord avec chacune des sept étapes que j'ai effectuées : c'est un bon exercice pour vérifier que vous avez compris. Remarquez que vous n'êtes pas obligés de faire les sept étapes dans le même ordre que moi. Mais peu importe l'ordre dans lequel vous ferez vos distributions, vous obtiendrez toujours le même résultat à la fin.

Attention toutefois : avec la commutativité de la multiplication et de l'addition, le même résultat peut se présenter sous des formes différentes. Par exemple abc+edf est exactement la même chose que fed+cab ! Donc pour notre grande expression développée, si vous faites les distributions dans un ordre différent, il est possible qu'il faille démêler un peu tout ça pour constater que le résultat obtenu est bien le même .

Eh bien il est temps que je vous explique la méthode plus rapide dont je vous parlait plus haut. Je crois qu'après tous ces calculs vous ne vous en plaindrez pas !

Pour cela, commençons par examiner le résultat du calcul précédent. Il s'agit de la somme de 8 termes : ace, bce, ade, bde, acf, bcf, adf, bdf. En observant ces termes, on remarque ceci :

• chaque terme contient soit a soit b,
• chaque terme contient soit c soit d,
• chaque terme contient soit e soit f.

En fait, pour chaque terme, on a pris un des nombres de la première parenthèse (a ou b), un nombre de la deuxième parenthèse (c+d) et un nombre de la troisième parenthèse (e+f) et on les a multipliés. Les huit termes du résultats final s'obtiennent en faisant toute les combinaisons possibles.

Et voilà ! Je suppose que vous commencez à imaginer ce que va être ma deuxième méthode pour développer dont je vous parlait plus haut. Alors la voici :

Deuxième méthode : Pour développer une expression factorisée, il suffit de faire la somme de tous les produits possible en prenant un nombre dans chaque parenthèse de l'expression factorisée.

Simple comme tout comme principe, non ? Prenons un exemple. Développons l'expression factorisée suivante :

• Si je prend le a dans la première parenthèse, j'ai trois choix dans la deuxième parenthèse : c, d ou e ce qui me donne les trois termes : ac, ad et ae.
• Si je prend le b dans la première parenthèse, j'ai de la même façon trois choix dans la deuxième parenthèse : c, d ou e ce qui me donne les trois termes : bc, bd et be.

Il suffit maintenant d'additionner tous ces termes pour obtenir l'expression développée :

Et le tour est joué ! Vous avouerez que c'est tout de même plus simple comme ça. Dans cet exemple, il n'y a que six termes, donc le raisonnement est assez simple, par contre, si il y en a plus, il faut faire preuve de méthode pour tous les énumérer sans en oublier et sans en compter deux fois.

Allez, pour être sûr que vous avez bien compris, un petit exercice. Développez l'expression suivante :

Indice : Il y a 18 termes.

Réponse :

Vous aviez trouvé ? Bravo ! Vous êtes un expert du développement.
Si par contre vous n'y étiez pas, ne vous en faite pas, le principal est d'avoir compris le principe. Les méthodes de calculs viennent avec la pratique.

Factorisons

Vous êtes maintenant un pro du développement. Il faut maintenant apprendre à factoriser.

Pour factoriser, il faut appliquer la distributivité à l'envers. Pour cela, il faut trouver un facteur commun, c'est à dire un nombre qui apparaît dans plusieurs des termes de l'expression que l'on veut factoriser. Par exemple, dans l'expression suivante :

l est un facteur commun aux deux termes, on peut donc factoriser l'expression par l :

Prenons un exemple plus sophistiqué :

Cette fois, la factorisation va devoir se faire en plusieurs étapes. (Si vous êtes observateurs, vous aurez certainement remarqué que l'exemple que j'ai choisi est le même qu'un exemple que j'ai déjà utilisé plus haut, j'ai juste changé les lettres pour que ça ne se voit pas .) Bon c'est parti pour la factorisation.

Première étape : J'ai repéré que le h apparaît dans plusieurs termes. Je factorise par h :

Deuxième étape : Je vois aussi que le m apparaît dans plusieurs termes. Je factorise par m :

Troisième étape : Je remarque maintenant que le (i+u) apparaît dans plusieurs termes. Je factorise par (i+u) :

Et c'est gagné ! Nous avons une expression factorisée.

Seulement voilà, cet exemple était un cas très simple dans lequel tout marche bien. Mais dans la plupart des cas, factoriser se révèle être beaucoup plus difficile que de développer.

Conclusion de cette sous-partie : savoir factoriser est tout un art. Vous vous demandez sûrement si la factorisation sert à quelque chose. La réponse est oui. En mathématiques, il est souvent indispensable de factoriser des expressions, par exemple pour résoudre des équations. Après ce que nous venons de voir, ça semble presque mission impossible dans certains cas.
Mais rassurez vous, il existe quelques astuces et des situations classiques qu'il faut savoir reconnaître et qui peuvent nous guider sur le chemin de la factorisation.
C'est le cas des identités remarquables.

Remarquables ces identités !

Les identités remarquables, ce sont des cas particulier de développement/factorisation. Elles sont souvent très utiles.

Les identités remarquables d'ordre 2

Les identités remarquables d'ordre 2 (ce qui signifie tout simplement que dans la forme factorisée on multiplie 2 termes) sont au nombre de trois. Mais plutôt qu'un long discours, je vous laisse les découvrir, les voici :

• 
• 
• 

Je pense que cela mérite tout de même une petite explication.

La première. Si on développe comme on l'a appris, on obtient :

Or ab=ba d'après la commutativité et donc ab+ba=2ab. Ceci explique la première identité.

La seconde s'obtient de la même manière. Vous remarquez au passage que l'on peut aussi développer une expression avec des soustractions à la place des additions, ce qui n'a rien d'étonnant puisque nous savons bien qu'une soustraction c'est l'addition d'un nombre négatif.
Il faut juste faire attention aux signes en développant. On voit dans le résultat que l'on a (-b)(-b)=+bb car Moins × Moins = Plus.

Lorsque l'on développe la troisième on obtient :

Le -ab et le +ba s'annulent car -ab+ba=0. (Je vous rappelle encore que ab=ba, oui je sais je commence à être lourd mais je pense qu'il faut mieux le dire trop que pas assez.) Au final, il ne reste donc que le aa et le -bb, d'où la formule que j'avais annoncée :

Les identités remarquables d'ordre 3

Il y a deux identités remarquables d'ordre 3 :

• 
• 

Maintenant vous savez développer comme des experts. Donc si vous ne me faites pas confiance, vous pouvez vérifier ces deux identités tous seuls .

Et caetera

Ensuite on peut continuer longtemps comme ça. Voilà les identités remarquables d'ordre 4 :

• 
• 

Si vous voulez les suivantes, celles d'ordre 5, 6, 7... je vous laisse les calculer vous même . Il existe une formule générale pour trouver rapidement ces identités sans développer à la main mais cela nécessite d'autres connaissances et ce n'est pas le sujet de cette fiche. Sachez seulement que ça existe. Nous verrons ça plus tard.

Bon, maintenant qu'on en a bien bavé, tu peux nous donner un exemple pour prouver que ça sert à quelque chose les identités remarquables ?

Bien sûr. C'est demandé si gentiment . Il est difficile de faire une liste précise de toutes applications des identités remarquables, mais il y a par exemple certaines équations qui se résolvent en factorisant avec ces identités. Après, tout est dans la pratique. En faisant des mathématiques, vous vous rendrez rapidement compte que les identités remarquables apparaissent très souvent ici ou là dans toute sortes de calculs.
Pour que vous ne restiez pas sur votre faim, je vous propose une petite application au calcul mental.

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Comment fait-on une multiplication ?

Nous sommes maintenant fin prêts pour aborder la partie qui est certainement la plus importante de cette fiche. Il indispensable que vous ayez bien compris ce qui précède pour commencer. N'hésitez pas à aller relire les parties sur la distributivité et le développement si vous avez quelques doutes.

Dans cette partie je vais vous apprendre une méthode pour faire les multiplications. Toutes les multiplications, et pas seulement celles qui correspondent à une identité remarquables ou à une astuce. La méthode que je vais vous montrer est très générale et marche toujours.

À vrai dire, cette méthode vous la connaissez peut-être déjà car c'est celle que l'on apprend habituellement à l'école primaire quand on nous explique comment faire les multiplications. Seulement voilà, à l'école primaire on vous a certainement appris cette méthode mais on ne vous a probablement pas expliqué d'où elle sort ni pourquoi elle marche. C'est ce que je vais faire ici.

Les tables de multiplications

La méthode que je vais vous expliqué nécessite de connaître ce que l'on appelle les tables de multiplication, c'est à dire tous les produits entre deux nombres compris entre 0 et 9.

En général, on représente les tables de multiplication sous forme d'un tableau :

×	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	0	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	0	7	14	21	28	37	42	49	56	63
8	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	0	9	18	27	36	45	54	63	72	81

Le produit de deux nombres se lit à l'intersection de la ligne de l'un et de la colonne de l'autre. Par exemple, 3×4 se lit à l'intersection de la troisième ligne et de la quatrième colonne :

×	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	0	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	0	7	14	21	28	37	42	49	56	63
8	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	0	9	18	27	36	45	54	63	72	81

3×4 = 12.

Ces tables de multiplication ont fait trembler des générations entières d'écoliers ! Parce que pour faire une multiplication, il faut commencé par connaître tous les résultats contenus dans ce tableau.
Il y a 100 cases.
Pourtant quand on y réfléchit, on se dit que ce n'est pas si mal que ça : imaginez, vous n'avez que 100 résultats à connaître et avec ceux là, vous pourrez effectuer l'infinité de toutes les multiplications possibles ! Cent pour une infinité c'est tout de même rentable .

D'autant plus qu'il est facile de réduire ce nombre.
Tout d'abord, il y a la commutativité. Vous remarquez que le tableau est symétrique par rapport à sa diagonale. Par conséquent plus besoin d'apprendre 3×4 et 4×3, on en apprend qu'un et on connaît l'autre ! Ceci réduit déjà pas mal les cases à apprendre dans le tableau :

×	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	0	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	0	7	14	21	28	37	42	49	56	63
8	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	0	9	18	27	36	45	54	63	72	81

Plus que 55 cases à apprendre !

Ensuite on peut enlever la ligne 0 et la ligne 1 qui, vous l'avouerez, se retiennent en une seconde :

×	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	0	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	0	7	14	21	28	37	42	49	56	63
8	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	0	9	18	27	36	45	54	63	72	81

Et hop ! Plus que 36 à retenir.

Ensuite, il y a toutes sortes d'astuces pour retrouver les autres. En fait, je vous conseille de ne pas apprendre les tables de multiplication par cœur, mais de calculer le résultat que vous voulez de tête à chaque fois. C'est un peu plus long au début, mais avec de l'entraînement on rattrape vite le temps perdu. Et la gymnastique de l'esprit ne fait jamais de mal pour entretenir son cerveau !

Bon voici quand même quelques trucs :

Maintenant, à vous de vous entraîner, de trouver vos propres trucs de calcul pour aller plus vite.

La méthode

Il est temps que je vous décrive cette méthode dont je vous ai parlée pour faire les multiplications.

Le principe est très simple : nous allons décomposer chaque nombre selon ses unités, ses dizaines, ses centaines..., puis nous allons utiliser la distributivité.
Pour comprendre, mieux vaut un exemple. Calculons le produit 18×23.

Nous commençons par décomposer les deux nombres selon leurs dizaines et leurs unités :

Puis on développe :

Il est maintenant facile de calculer les quatre termes avec les tables de multiplications :

Et il ne reste plus qu'à faire une addition :

Et voilà, le résultat !
Cependant, il est courant que l'on écrive toutes ces étapes sous une forme condensée :

Et là d'un seul coup un éclair de compréhension traverse votre esprit ! Mais bon sang, mais c'est bien sûr ! Quand je pose une multiplication, je ne fait rien d'autre que développer.

Et oui, c'est ça . Détaillons un peu plus la façon dont la multiplication ci-dessus est posée.

On commence par multiplier les deux unités. On inscrit le résultat sous la ligne de multiplication.
On multiplie l'unité de 23 avec la dizaine de 18 : 3×1 = 3. Comme on a une dizaine, le résultat est multiplié par 10. On obtient donc 30, que l'on inscrit en-dessous.
On multiplie la dizaine de 23 avec l'unité de 18 : 2×8 = 16. On a une dizaine donc on rajoute un zéro à la fin pour multiplier par 10. On inscrit le résultat, 160, en-dessous des autres.
On multiplie les deux dizaines : 1×2 = 2. Comme il s'agit de deux dizaines, on rajoute cette fois deux zéros pour multiplier deux fois par 10. On obtient 200 que l'on inscrit en dessous.
Voilà on a multiplié toutes les possibilités de combinaisons entre un chiffre de 18 et un chiffre de 23. C'est-à-dire qu'on a bien tout développé. Il ne reste donc plus qu'à faire l'addition finale.

Essayons en une autre pour voir. Par exemple 123×718. Si on écrit le développement de façon classique, cela donne ça :

Et sous la forme d'une multiplication posée comme on apprend à l'école :

Avec cette méthode, on peut aussi multiplier des nombres à virgule. Et cela se fait de la même façon. La seule différence est que quand on multiplie deux chiffres qui sont après la virgule, au lieu de leur ajouter de 0 pour les multiplier par 10 ou par 100..., on leur ajoute un virgule et des 0 après la virgule pour les diviser par 10 ou par 100...
Un exemple, 2,1×7,4 :

• Première ligne : 0,04 est le résultat de la multiplication 4×1 que l'on décale deux chiffres après la virgule car le 1 et le 4 sont tous les deux un chiffre après la virgule.
• Deuxième ligne : 0,8 est le résultat de la multiplication 4×2 que l'on décale d'un chiffre après la virgule car le 4 est un chiffre après la virgule et le 2 est le chiffre des unités donc pas de décalage venant de lui.
• Troisième ligne : 0,7 est le résultat de la multiplication 7×1 que l'on décale d'un chiffre après la virgule car le 1 est un chiffre après la virgule et le 7 est le chiffre des unités donc pas de décalage venant de lui.
• Quatrième ligne : 14 est le résultat de la multiplication 7×2. Ces deux chiffres sont au rang des unités donc pas de décalage.

Voilà, vous avez le principe. À vous de vous entraîner en posant d'autres multiplications.

Éléments neutre et absorbant

On termine avec une dernière partie plus simple. Cette partie vous semblera peut-être un peu inutile de premier abord puisque je vais vous donner la définition d'un élément neutre et d'un élément absorbant sans vraiment vous dire à quoi ça sert. Sachez seulement que ce sont des notions qui seront utiles quand nous aborderons des mathématiques plus abstraites. Cette partie est donc là pour commencer à vous préparer à des choses ultérieures...

Qu'est-ce qu'un élément neutre et un élément absorbant ?

• L'élément neutre d'une opération est un nombre tel que quel que soit un autre nombre x, l'opération de x et le l'élément neutre a pour résultat x.
• L'élément absorbant d'une opération est un nombre tel que quel que soit un autre nombre x, l'opération de x et de l'élément absorbant a pour résultat l'élément absorbant.

Oh là ! C'est quoi ces définitions barbares ? Oui, je vous ai volontairement donné des définitions un peu formelles pour commencer à vous y habituer. En réalité ce n'est pas très dur, essayez de trouver par vous même quels sont l'élément neutre et l'élément absorbant de la multiplication.

Je vous laisse réfléchir un peu.

...

C'est bon vous avez trouvé ?
Alors voila la réponse : l'élément neutre est 1 et l'élément absorbant est 0.

Si on multiplie un nombre par 1, ce nombre ne change pas : 1×x = x. C'est pour cela que 1 est l'élément neutre. Le nombre 1 est neutre pour la multiplication, ça ne change rien de multiplier par 1.

Si on multiplie un nombre par 0, on obtient toujours 0 : 0×x = 0. C'est pour cela que 0 est l'élément absorbant. La multiplication par 0 absorbe tous les nombres.

Vous voyez, il ne faut pas avoir peur des définitions qui peuvent sembler compliquées au premier abord. En réalité, les définitions sont là pour éviter toute ambiguïté elle se doivent donc d'être le plus précis possible.

Vous savez maintenant tout sur la multiplication. Pour conclure, voici la définition que les mathématiciens donnent à la multiplication :

Définition. La multiplication est une opération binaire commutative, distributive sur l'addition, d'élément neutre 1.

Il n'y a normalement qu'un mot que vous ne connaissez pas dans cette définition (s'il y en a plus d'un retournez vite lire les parties précédentes ). C'est le mot binaire. Cela signifie que la multiplication est une opération qui utilise deux nombres. Car il peut exister aussi des opérations qui n'utilisent qu'un seul nombre, ou qui en utilise plus de deux.

Il n'y a QUE la multiplication qui vérifie cette définition. Pouvez essayer de chercher une autre opération binaire qui est commutative, distributive sur l'addition et d'élément neutre 1, vous n'y arriverez pas.

Pour finir, je vous laisse avec un exercice assez dur : pouvez-vous prouver ce que je viens de dire, c'est-à-dire que la multiplication est la seule opération qui correspond à la définition ci-dessus ?
Je vous laisse chercher. Bon courage ...

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