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Cette fiche est un complément à la leçon sur les nombres rationnels.
Avant de commencer cette fiche, je vous conseille fortement d'avoir lu cette leçon, ainsi que
la première fiche technique sur la multipication.
Vous trouverez ici un certain nombre de points concernant la division que j'ai choisi de ne pas
traiter dans la leçon car ils ne m'y semblent pas indispensables.
Si vous avez bien suivi la leçon sur les nombres rationnels
vous savez que la fraction
désigne tout simplement le résultat de la division a÷b.
Donc dans la suite je ne ferai pas de différence entre a÷b et
.
Il s'agit du même nombre donc ne cherchez pas d'interprétation mathématique si j'utilise une forme ou l'autre,
c'est juste selon mon humeur.
Il est même possible que parfois j'écrive
a/b : c'est la même chose que la fraction sauf que j'écris la barre en oblique de façon à placer le numérateur et le
dénominateur sur la même ligne. Ça permet de gagner un peu de place. 
En bref :
Je suis désolé de casser l'ambiance dès le début mais j'ai une mauvaise nouvelle :
il y a des divisions qui ne sont pas possibles.
Dans la leçon sur les nombres rationnels
nous avions inventé les nombres réels pour pouvoir faire toutes les divisions,
eh bien c'est raté, une division resiste encore et toujours à notre savoir-faire, c'est la division par zéro.
Pourquoi ce n'est pas possible une division par zéro ?
Il y a plusieurs façons de répondre à cette question :
Première réponse : Diviser c'est couper. Par exemple diviser par 3, c'est couper en 3 morceaux égaux.
Diviser par 7 c'est partager en 7 morceaux de même taille. Dans ce cas là, diviser par 0 ne veut tout simplement
rien dire. Si vous avez 10 caramels mous à partager entre 0 personnes la situation est impossible,
on ne peut pas faire 0 parts à partir de 10 caramels.
Deuxième réponse : Il y avait une deuxième façon d'interpréter la division, diviser c'est remplir. Diviser par 2 c'est se demander combien de 2 il faut pour remplir. Combien faut-il de 2 pour remplir 10 : il en faut 5, donc 10÷2 = 5. La division par 0 devient alors : combien faut-il de 0 pour remplir 10 ? Encore une fois la réponse est impossible, on aura beau mettre autant de zéros qu'on veut, on arrivera jamais à remplir 10 !
Troisième réponse : Puisque nos deux interprétations de la division ne marchent pas, revenons aux bases : une division, c'est le contraire d'une multiplication. On se demande donc : par combien faut-il multiplier 0 pour obtenir 10 ? Écrivons la table de multiplication de 0 :
| 0 × 0 = 0 |
| 0 × 1 = 0 |
| 0 × 2 = 0 |
| 0 × 3 = 0 |
| 0 × 4 = 0 |
| 0 × 5 = 0 |
| 0 × 6 = 0 |
| 0 × 7 = 0 |
| 0 × 8 = 0 |
| 0 × 9 = 0 |
| 0 × 10 = 0 |
Encore une fois déception !
Dans la table de 0, il n'y a que des 0. Il n'y a pas 10, donc pas moyen de diviser 10
(ni n'importe quel autre nombre) par 0 !
Minute ! Quand même, dans la table de 0, il y a 0, donc on peut diviser 0 par 0 ?
Même pas ! Car si on se pose la question combien vaut 0÷0, c'est à dire combien multiplié par 0 donne 0, la réponse
est : TOUS les nombres. Tous les nombres multipliés par 0 donnent 0, donc la division 0÷0 a une infinité de réponses
possibles ! 
Autant dire que la division de 0 par 0, on oublie aussi...
Je m'arrête là pour la division par 0. Ce que j'ai dit est suffisant pour cette fiche. Si vous voulez en savoir d'avantage, il y a un peu plus de détails dans le quatrième et dernier chapitre de la leçon sur les nombres, vous pouvez y jeter un œil.
Tout d'abord un petit rappel sur la multiplication. La multiplication d'un nombre x par un nombre y, peut se représenter comme la surface d'un rectangle de longueur x et de largeur y.
Maintenant prenons un nombre a, nous allons utiliser une astuce pour construire un rectangle dont la surface est a. Tout simplement en disant que a = a×1 donc a est la surface d'un rectangle de longueur a et de largeur 1.
Excuse-moi de t'interrompre dans tes rectangles mais tu ne nous as pas dit pourquoi tu voulais tracer un rectangle de surface a ?
Ah oui, excusez moi, j'y viens 
. Mon but est de faire la division
a÷b. Et j'essaye de trouver une interprétation géométrique à cette division. Par exemple, si a=4 et b=5.
Voici un rectangle de surface égale à 4 :
Maintenant, découpons ce rectangle en 5 tranches égales :
Chacune des tranches a alors une surface égale a 4÷5. Or, chacune des tranches est en fait un rectangle de longueur 4 et de largeur 1/5 = 0,2. Autrement dit, la division 4÷5 c'est la même chose que la multiplication 4×(1/5)= 4×0,2.
Et d'une manière plus générale, faire la division a÷b revient à faire la multiplication a×(1/b).
Pour cette raison, il est intéressant d'étudier un peu plus en détail le nombre 1/b, c'est à dire la division de 1 par b.
Si à partir du nombre b on sait trouver le nombre 1/b, alors la division se transforme en multiplication :
la division par b devient la multiplication par 1/b. Et ça c'est chouette parceque les multiplications on sait déjà faire !
Commençons par un point de vocabulaire : le nombre 1/a s'appelle l'inverse du nombre a. Par exemple :
Ainsi, le résultat que nous avons obtenu juste avant peut se formuler de cette façon : Diviser par un nombre, c'est la même chose que multiplier par son inverse. Autrement dit :
Il faut se méfier ici car les mots multiplier
et diviser
sont un peu trompeurs.
Quand on multiplie un nombre,
on s'attend à trouver un nombre plus grand que celui duquel on est parti. Or si on regarde le premier point de la liste précédentes,
on voit que multiplier par 0,5 c'est comme diviser par 2. Donc, par exemple : 10×0,5 = 5. On multiplie 10 et pourtant on
trouve un nombre plus petit que 10 !
En réalité, multipler par 0,5 c'est multiplier par un demi
(0,5 = 1/2) c'est-à-dire que l'on prend 10 une demi fois :
on ne prend que la moitié de 10, ce qui veut bien dire qu'on le divise par 2.
De la même façon, quand on divise un nombre on s'attend à trouver un nombre plus petit. Mais si on regarde le dernier point de la liste précédente, on voit que diviser par 0,2 c'est comme multiplier par 5. Donc par exemple 4÷0,2 = 20. On divise 4 mais on obtient un nombre plus grand que 4. Pour comprendre ça, il faut penser à la deuxième interprétation de la division (rappelez vous, nous l'avons vu dans la leçon sur les nombres rationnels : c'est ici). 4÷0,2, c'est le nombre de fois que 0,2 tient dans 4. Comme 0,2 est plus petit que 1, il est normal qu'il y tienne plus de 4 fois.
Revenons à nos inverses :
La multiplication d'un nombre par son inverse est égale à 1. Ça c'est facile à comprendre, c'est juste parceque la division est l'opération contraire de la multiplication.
Autrement dit a est l'inverse de b si a×b = 1. On remarque alors que b est aussi l'inverse de a.
(Encore un coup de la commutativité ! )
Bon je sens que je ne suis pas clair, donc je résume mon raisonnement étape par étape :
La morale de tout ça, c'est que l'inverse de l'inverse d'un nombre, c'est le nombre lui même.
L'important c'est le point du milieu : ab = 1. On voit bien que a et b joue le même rôle puisque
la multiplication est commutative. Si l'un est l'inverse de l'autre c'est que l'autre est l'inverse de l'un.
Cette propriété est similaire à la règle du Moins × Moins = Plus
. L'inverse de l'inverse de a, c'est a.
Ou en écriture mathématique :
Plus un nombre est grand plus son inverse est proche de 0. Et vice versa : plus un nombre est proche de 0, plus son inverse est grand.
On remarque que cette règle est logique : Diviser par un grand nombre revient à multiplier par un petit nombre,
et diviser par un petit nombre revient à multiplier par un grand nombre. (Car je vous rappelle que diviser par un
nombre c'est la même chose que multiplier par son inverse).
Par exemple, si je divise par 1000 (qui est un grand nombre), c'est comme si je multipliais par 0,001 (qui lui est tout petit,
guili guili le p'tit nombre
).
La correspondance entre les nombres et leurs inverses est résumé dans le schéma suivant :
Ce n'est pas forcément très évident à comprendre du premier coup, mais réfléchissez y tranquillement et vous allez
voir, vous allez comprendre...
Au passage, vous remarquerez que le nombre 0 est tout seul au milieu et que c'est l'unique nombre à ne pas avoir d'inverse. Ceci confirme bien que la division par 0 n'est pas possible comme nous le disions dans la partie précédente.
Voici quelques propriétés des inverses :
En quelque sorte, les trois derniers points montrent que 1 est le point central de l'inverse pour les nombres positifs : quand on prend l'inverse d'un nombre, on passe de l'autre coté du nombre 1. Et le nombre 1 est le seul qui ne bouge pas quand on prend son inverse. (et pareil pour -1 avec les nombres négatifs)
À partir de là, je pourrais très bien vous dire : voilà, la fiche technique est terminée :
diviser par un nombre c'est multiplier par son inverse. Vous savez maintenant ce qu'est l'inverse d'un nombre donc
pour tout savoir, vous n'avez plus qu'à vous reporter sur
la fiche technique sur la multipication.
!
La division est une multiplication comme les autres !
Si vous n'êtes pas convaincus, prenons un exemple. La commutativité. (Je l'aime bien celle là !
)
Voici un calcul composé de plusieurs multiplicatons et plusieurs divisions :
On remplace les divisions par des multiplications par les nombres inverses :
Et maintenant, on peut utiliser la commutativité de la multiplication comme on veut. Par exemple on mélange les termes de cette façon :
Et maintenant, si on retransforme les inverses en divisions, on obtient :
Autrement dit, on peut faire les multiplications et les divisions dans l'ordre qu'on veut. Et ça c'est très pratique en calcul mental : si par exemple on a quelque part dans un calcul une multiplication par 70 et ailleurs une division par 10, on peut les regrouper car c'est facile de faire de tête l'opération 70÷10 = 7.
Attention : ce n'est pas parce que la multiplication est commutative que la division est aussi commutative ! Dans l'exemple précédent, on peut changer l'ordre des nombres à condition de déplacer les opérations en même temps qu'eux : les nombres divisés restent divisés et les nombres multipliés restent multipliés :
Dans le premier cas, on a inversé le b et le c sans inverser le × et le ÷ c'est pour cette raison que c'est faux.
Dans le deuxième cas, le × et le ÷ sont déplacés en même temps que le b et le c, c'est donc juste.
Si jamais vous avez un doute, il suffit de repasser par l'écriture en utilisant l'inverse et utiliser la commutativité
de la multiplication :
En bref, la division n'est pas commutative, on ne PEUT PAS écrire : a÷b = b÷a. C'est FAUX ! Par contre on peut passer par l'écriture en multiplication pour commuter les termes.
Bon allez, je ne vais pas vous abandonner comme ça...
Il y a quand même pas mal d'autres choses que l'on peut dire et comprendre concernant la division. En particulier, il y a une méthode plus rapide pour faire une division que de chercher l'inverse et de faire une multiplication.
Alors finalement, la fiche continue encore un peu.
Dans cette partie, nous allons remonter le temps pour revenir à l'époque ou nous ne connaissions encore ni les nombres rationnels ni même les entiers relatifs. Nous n'allons nous occuper que de divisions avec des entiers naturels.
Pourquoi fait-on ça ?
Il y a deux raisons. La première, c'est que l'étude de ce qui se passe quand on ne s'intéresse qu'aux entiers est très
intéressante en elle même (et c'est d'ailleurs toute une branche des mathématiques que l'on appelle l'arithmétique, d'où le titre
de la partie ).
La seconde raison c'est que ce que nous allons voir ici avec des entiers naturels, on pourra ensuite l'améliorer un
peu pour obtenir des résultats très intéressants avec les nombres réels et rationnels. Nous verrons ça un peu plus
bas dans la fiche.
C'est quoi les multiples et les diviseurs ?
Vocabulaire : Si b est dans la table de multiplication de a, alors b est un multiple de a. Dans ce cas, a est un diviseur de b, car la division de b par a est possible.
Autrement dit, a est un diviseur de b
et b est un multiple de a
signifient exactement la même chose.
Prenons par exemple la multiplication 3×7 = 21. On peut en déduire quatre choses :
Autre exemple : le nombre 12 a six diviseurs : 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
Si vous n'êtes pas convaincus, vous pouvez vérifier : il faut voir que 12 n'est pas dans d'autres
tables de multiplication que ces six nombres, donc vous écrivez toutes les tables de multiplication
des nombres de 1 à 12 et vous verrez que 12 n'est que dans ces six là !
Voici quelques propriétés des diviseurs et des multiples :
En réalité le dernier point n'est pas tout à fait vrai. Il y a un nombre qui n'a pas une infinité de multiples. C'est le nombre 0 !
0 n'a qu'un seul multiple, et c'est lui même car il n'y a que des 0 dans la table de multiplication de 0 !
Deuxième point d'attention : dans les points 3 et 4, les termes plus grand que
et plus petit que
sont à prendre au sens large.
En mathématique un nombre est à la fois plus grand et plus petit que lui même. Si on veut les nombres qui sont vraiment
plus grands ou plus petit, on utilise les termes strictement plus grand
ou strictement plus petit
.
Par exemple, 12 est plus grand que 12. 13 est strictement plus grand que 12. 12 n'est pas strictement plus grand que 12.
13 est plus grand que 12.
La question que l'on se pose alors est la suivante : Comment savoir si un nombre en divise un autre ? C'est-à-dire, comment reconnaître les diviseurs ou les multiples d'un nombre
Il y a une réponse simple : si on veut savoir si a divise b, on écrit tous les multiples de a et on regarde si b en fait partie.
Selement voilà, cette méthode marche à merveille pour des petits nombres, mais un peu moins bien pour les grands nombres.
Imaginez si je vous demande : est-ce que 147 divise 3111 ? 
Argh ! Il faut écrire les multiples de de 147 jusqu'à ce qu'on ait dépassé 3111.
Bien sûr, ça marche, c'est tout à fait possible d'écrire tous les multiples de 147 jusqu'à 3111, mais il faut avouer
que c'est quand même un peu long !
Pour trouver une meilleure méthode, rien de tel qu'un peu de réflexion accompagnée d'un petit schéma.
Voici les entiers naturels :
Maintenant, regardons un peu les multiples des nombres de 1 à 7 :
| Les multiples de 1 |
|
| Les multiples de 2 |
|
| Les multiples de 3 |
|
| Les multiples de 4 |
|
| Les multiples de 5 |
|
| Les multiples de 6 |
|
| Les multiples de 7 |
|
Maintenant, réfléchissons un peu. (Ça fait pas de mal ! )
Les multiples d'un nombre sont régulièrement espacés. Si on prend l'exemple des multiples de 5, ils vont de 5 en 5 en partant de 0. On a alternativement : un multiple de 5, quatre pas multiples de 5, un multiple de 5, quatre pas multiples de 5, un multiple de 5...
Si on additionne deux multiples de 5, alors on obtient à nouveau un multiple de 5. Et si on additione un multiple de 5 à un nombre qui n'est pas multiple de 5, alors on obtient un nombre qui n'est pas multiple de 5.
En résumé :
Et bien entendu, cela marche aussi avec les soustraction :
Par contre, attention :
Par exemple 2+4=6 (pas multiple de 5) et 2+3=5 (multiple de 5).
Je vous l'ai expliqué avec les multiples de 5, mais ça marche évidemment pareil avec les multiples des autres nombres !
C'est bien beau tout ça mais à quoi ça nous sert concrètement ?
Comme d'habitude prenons un exemple : 811 est-il un multiple 7 ?
On sait désormais que si 841 est un multiple 7, alors ça ne change pas si on lui ajoute ou si on lui enlève un autre multiple de 7.
700 est évidemment un multiple de 7 car égal à 7×100. Donc on peut enlever 700 : 841-700 = 141.
On peut également repérer que 140 est un multiple de 7, car 7×2 = 14 donc 140 = 7×20. Et hop, on enlève 140 : 141-140 = 1 !
La question est désormais : 1 est-il un multiple de 7 ? Et là, la réponse est évidemment non ! (Les premiers multiples de 7 sont 0, 7, 14, 21... et 1 n'en fait pas partie.)
Conclusion : 841 n'est pas un multiple de 7.
Whaou ! C'est nettement plus rapide comme ça !
Vous imaginez le temps que ça nous aurait pris si on avait écrit tous les multiples de 7 jusqu'à 811 !
Au lieu d'écrire tous les multiples, on réduit le nombre en enlevant des gros morceaux qui sont des multiples de 7. Ensuite c'est une question d'habitude, plus vous vous entrainerez à chercher si un nombre est un multiple d'un autre, mieux vous y arriverez :
Allez, un deuxième exemple : 1096 est-il multiple de 11 ? J'ajoute 11, j'obtiens 1107. J'enlève 1100, j'obtiens 7 qui n'est
pas multiple de 11. Donc 1096 n'est pas multiple de 11. Réponse en 10 secondes chrono !
Pour certains nombres, il existe des astuces pour constater si un nombre est son multiple ou non.
Les multiples de 2. Les multiples de 2 sont les nombres dont le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
Si vous n'êtes pas convaincu, écrivez la table de 2 et vous comprenrez vite comment ça marche.
Note : Le multiples de 2 s'appellent aussi les nombres pairs. Les nombres qui ne sont pas des multiples de 2 sont
les nombres impairs (et du coup ce sont ceux dont le chiffre des unités est 1, 3, 5, 7 ou 9).
Les multiples de 5. Les multiples de 5 sont les nombres dont le chiffre des unités est 0 ou 5. Là encore, plutôt que d'expliquer avec des phrases, il suffit d'écrire les premiers multiples de 5 pour comprendre comment ça marche : 0, 5, 10, 15, 20, 25...
Les multiples de 10. Encore un cas facile. Les multiples de 10 sont ceux dont le chiffre des unités est 0. Remarquez que 10 = 2×5 donc un multiple de 10 est à la fois multiple de 2 et multiple de 5. D'après les deux points précédents on voit bien que pour qu'un nombre soit à la fois multiple de 2 et de 5, il doit se terminer par 0.
Les multiples de 20, de 50, de 100.
Un nombre est multiple de 20 si son chiffre des unités est 0 et si son chiffre des dizaines est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Un nombre est multiple de 50 si son chiffre des unités est 0 et si son chiffre des dizaines est multiple de 5 (0 ou 5).
Un nombre est multiple de 100 si son chiffre des unités et son chiffre des dizaines sont tous les deux 0.
En quelque sorte, le nombre est deux fois multiple de 10.
Les multiples de 3. Voilà un cas vraiment intéressant ! Il existe une astuce merveilleuse. Pour cela, on remarque que les nombres qui ne sont composés que de 9 sont des multiples de 3 :
Et ça c'est bien car ces nombres sont faciles à soustraire. Prenons le nombre 11010.
, donc 11010 est aussi un multiple de 3 !Vous commencez certainement à comprendre le principe. Voici un autre exemple, le nombre 4714.
Vous remarquez qu'avec cette méthodes, on tranforme un nombre en la somme de ses chiffres. Si au nombre 836543 vous enlevez 8 fois 99999, 3 fois 9999, 6 fois 999, 5 fois 99 et 4 fois 9, il reste 8+3+6+5+4+3 = 29. Comme 29 n'est pas multiple de 3, 836543 n'est pas multiple de 3.
Je vous avais bien dit que c'était magique. La règle est donc la suivante : un nombre est multiple de 3 si et seulement si la somme de ses chiffres l'est. Et bien sur, si le nombres est vraiment très grand on peut appliquer la règle plusieurs fois :
Je sais que je me répète, mais franchement c'est épatant comme méthode !
Les multiples de 9. Les nombres composés uniquement de 9 sont aussi des multiples de 9 :
Donc la méthode précédente marche aussi pour les multiples de 9.
Exemple 1 : 215. On additione ses chiffres : 2 + 1 + 5 = 6.
Or 6 n'est pas un multiple de 9 donc 215 non plus. (Par contre 6 est un multiple de 3
donc 215 est aussi multiple de 3).
Exemple 2 : 5931.
On additionne les chiffres : 5 + 9 + 3 + 1 = 18. On re-additionne les chiffres : 1 + 8 = 9. Donc 5931 est un multiple de 9 !
Les multiples de 6, de 15, de 30, de 90.
Attention, ce genre de méthode ne marche pas pour tous les nombres. Par exemple, 20=2×10 mais il ne suffit pas qu'un nombre soit multiple de 2 et de 10 pour être multiple de 20. Pour preuve, 30 est multiple de 2 et de 10 mais pas de 20. Nous réfléchirons plus en détails à ce genre de choses dans les leçons d'arithmétique.
Depuis
la leçon sur les nombres rationnels
vous savez qu'avec les entiers naturels, il y a des divisions qui ne sont
pas possibles.
Un exemple : 7 divisé par 3. Le nombre 7 n'est pas dans la table de 3. La question 3 fois combien égal 7 ?
n'a pas de réponse : 3×2 = 6, trop petit, 3×3 = 9, trop grand !
Nous allons voir que quand les vraies
divisions ne sont pas
possibles, on peut quand même faire des divisions approximatives.
C'est ce que l'on appelle les divisions euclidiennes.
Une vrai division, ça se passe comme ça :
Combien fait 35÷5 ? Réponse : 35 = 7×5, autrement dit 5 tient 7 fois dans 35, donc 35÷5 = 7.
Si maintenant, on se demande combien fait 36÷5. Plutôt que de s'avouer vaincu et de ne pas faire la division on dit ceci : 36 divisé par 5, ça fait 7 et il reste 1. Autrement dit, 5 tient 7 fois dans 36 mais ne le remplit pas entièrement. Le principe de la division euclidienne, c'est de laisser un reste si jamais ça ne tombe pas juste.
En général, on écrit ça sous la forme suivante :
| 36 | 5 |
| 1 | 7 |
Ça vous rappelle quelque chose, non ? Eh oui, les bonnes vieilles divisions à la main qu'on apprend à l'école !
Il faut lire ça en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre et en partant du 36 : 36 divisé par 5 égal 7 et il reste 1 :
Vocabulaire (il y a beaucoup de vocabulaire dans cette fiche, mais si vous ne retenez pas tout du premier coup je ne vous
en voudrais pas ) :
Schématiquement ça donne ça :
| dividende | diviseur |
| reste | quotient |
Si on passe à 37, il reste 2 :
| 37 | 5 |
| 2 | 7 |
Et Caetera
| 38 | 5 |
| 3 | 7 |
| 39 | 5 |
| 4 | 7 |
Et quand on arrive à 40, la division tombe juste : le quotient monte à 8 alors que le reste est 0 :
| 40 | 5 |
| 0 | 8 |
Vous remarquerez que le reste d'une division par 5 est toujours compris entre 0 et 4. Et plus généralement,
le reste d'une division par q est toujours conpris entre 0 et q-1. (S'il reste plus que q, ça veut dire
qu'on peut encore faire tenir q au moins une fois dans ce qui reste donc la division n'est pas finie.
)
Mais comment sait-on combien valent le quotient et le reste ? Ça ne se trouve pas juste en un coup d'œil.
Non bien sûr, il existe une méthode.
Cette méthode ressemble beaucoup à ce qu'on a déjà fait plus haut pour savoir si un nombre est un multiple d'un autre. Sauf que cette fois on va se souvenir de combien de fois on a mis le diviseur dans le dividende.
Essayons de faire la division 347÷3 :
| 347 | 3 |
Pour l'instant, j'ai juste posé la division mais je n'ai encore rien calculé. Je ne connais ni le quotient ni le reste.
Il est clair que dans 347, on peut faire tenir au moins 100 fois le nombre 3. Alors j'écris ceci :
| 347 | 3 |
| 47 | 100 |
Ce qui signifie : pour l'instant, nous avons fait tenir 100 fois le nombre 3 dans 347 et il reste encore 47 à remplir.
Comme on peut encore faire tenir 3 plusieurs fois dans 47, la division euclidienne n'est pas finie !
Bien alors maintenant, on peut encore faire tenir 10 fois le nombre 3 dans le reste :
| 347 | 3 |
| 47 | 100+10 |
| 17 |
On approche du but : On a déjà mis 100+10 = 110 fois le nombre 3 dans 347 et il ne reste plus que 17 à remplir. Dans 17, on peut encore faire tenir 3 cinq fois :
| 347 | 3 |
| 47 | 100+10+5 |
| 17 | |
| 2 |
La division euclidienne est finie. Le reste est plus petit que 3 ! Conclusion : 3 tient 115 fois dans 347 et il reste 2.
En effaçant les calculs intermédiaires ça donne ceci :
| 347 | 3 |
| 2 | 115 |
Et cette méthode marche à tous les coups ?
Oui, elle marche à tous les coups, mais ce n'est pas toujours facile de trouver quel multiple du diviseur enlever. Si on considère la division suivante :
| 609 | 13 |
On ne sait pas forcément très bien comment commencer. Quand vous vous trouvez face à une division qui ne vous inspire pas, je vous conseille d'écrire dans un coin de votre feuille la table de multiplication du diviseur. Dans notre cas, il s'agit de 13. Voici sa table :
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 13 | 26 | 39 | 52 | 65 | 78 | 91 | 104 | 117 |
On voit alors bien que 13 tiens 40 fois dans 609 (40×13 = 520) mais pas 50 fois (50×13 = 650). On a donc déjà les dizaines.
| 609 | 13 |
| 89 | 40 |
Là ce n'est pas trop dur de faire la soustraction de tête pour trouver le reste : 609-520 = 89.
Mais si la soustraction est plus désagréable ou si vous avez un doute, n'hésitez pas à la poser calmement dans un coin
de papier.
Puis 13 tient 6 fois dans 89 mais pas 7 fois. D'où le résultat :
| 609 | 13 |
| 89 | 40+6 |
| 11 |
Et la division est finie : 609÷13 égal 46 et reste 11.
Je m'arête sur ce deuxième exemple. Si vous avez compris la méthode, c'est l'essentiel. Ensuite c'est une question d'entraînement et de pratique.
Il est temps de laisser les divisions euclidiennes pour revenir aux vraies divisions.
Dans cette partie, on revient au cas général : on fait des divisions avec des nombres réels et plus seulement avec les entiers naturels.
J'ai une bonne nouvelle : vous savez déjà presque tout ce qu'il faut savoir.
Ça marche de la même façon qu'une division euclidienne.
Vous ne me croyez pas ? Alors je vous le prouve avec un exemple. Divisons 34,8 par 7,1 :
| 34,8 | 7,1 |
Comme je ne connais pas ma table de 7,1 par cœur
je l'écris dans un coin :
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 7,1 | 14,2 | 21,3 | 28,4 | 35,5 | 42,6 | 49,7 | 56,8 | 63,9 |
Et hop, on voit tout de suite que 7,1 tient 4 fois dans 34,8 mais pas 5 fois.
| 34,8 | 7,1 |
| 4 |
Combien reste-t-il ? Il suffit de faire une petite soustraction : 34,8-28,4 = 6,4.
| 34,8 | 7,1 |
| 6,4 | 4 |
Et mine de rien on a déjà fait une bonne partie du boulot puisqu'on a trouvé la partie entière du résultat ! Le reste 6,4 est plus petit que 7,1 donc 7,1 y tient moins que une fois. Autrement dit, il n'y a plus qu'à chercher les chiffres après la virgule.
Allez, je met la virgule :
| 34,8 | 7,1 |
| 6,4 | 4,??? |
Et maintenant réfléchissons un peu. (Oui, encore ! Je sais que je vous fais beaucoup réfléchir dans cette fiche.
)
On se demande combien de fois 7,1 tient dans 6,4. Pour trouver le premier chiffre après la virgule,
on se pose la question : combien de dixièmes de fois 7,1 tient-il dans 6,4 ?
Pour y répondre, on utilise une astuce. Voici le raisonnement étape par étape :
Et voilà, on a le premier chiffre après la virgule :
| 34,8 | 7,1 |
|
64 |
4,9... |
Mais combien reste-il ?
Bonne question !
Je n'ai pas encore écrit le reste.
Quand on a dit que 7,1 tient 9 fois dans 64, il reste 0,1 car 7,1×9=63,9. Donc il reste 0,1 :
| 34,8 | 7,1 |
|
64 0,1 |
4,9... |
Mais attention, quand on est passé de 6,4 à 64, on a multiplié les reste par 10. Ce reste là est encore multiplié par 10. Autrement dit, il nous reste en réalité 0,01 à remplir, c'est à dire 0,1 dixièmes.
Pour trouver le chiffre des centièmes, on multiplie encore le reste par 10 :
| 34,8 | 7,1 |
|
64 1 |
4,9... |
Combien de fois 7,1 tient-il dans 1 ? La réponse est 0, donc il n'y a pas de centièmes, le chiffre des centièmes est 0 :
| 34,8 | 7,1 |
|
64 1 |
4,90... |
Qu'à cela ne tienne, puisqu'il n'y a pas de centièmes remultiplions le reste par 10 pour voir s'il y a des millièmes :
| 34,8 | 7,1 |
|
64 10 |
4,90... |
7,1 tient une fois dans 10 et il reste 2,9. Le chiffre des millièmes est 1 :
| 34,8 | 7,1 |
|
64 10 2,9 |
4,901... |
Bon allez, je m'arrête là. Mais si vous voulez vous entraîner vous pouvez continuer. Tout dépend du nombre de chiffres après la virgule que vous voulez. C'est une question de précision.
Il est possible que la division tombe juste au bout d'un moment, c'est à dire que le reste soit 0.
Dans ce cas, c'est super, on a fini la division !!
Mais il est aussi possible que le résultat ait un nombre infini de chiffres après la virgule
dans ce cas, il faut savoir s'arrêter à un moment, sinon vous risquez d'y passer beaucoup de temps !
Voilà, vous savez presque tout ! Juste une chose encore, dans la leçon sur les nombres rationnels je vous avais annoncé que quand on divise deux nombres entiers, ses chiffres après la virgules forment un cycle (Par exemple, 7/33 = 0,21 21 21 21 21...), mais je ne vous avais pas expliqué pourquoi.
Chose promise chose due, voici l'explication :
Quand on fait une division euclidienne par q, le reste est plus petit que q. Car sinon, la division n'est pas finie.
Si on prolonge la division euclidienne pour trouver le chiffre des dixièmes, le reste est toujours plus petit que q.
On passe au chiffre des centièmes et encore une fois il reste un nombre plus petit que q.
Et cætera à chaque fois qu'on rajoute un chiffre après la virgule on trouve un reste plus petit que q. Donc forcément au bout d'un certain temps on fini par retomber sur un reste qu'on a déjà vu. Plus précisément, au moins avant le qème après la virgule, on retrouve deux fois le même reste.
Et donc à partir de là, les mêmes calculs se répètent et les chiffres après la virgule se mettent à tourner en rond.
Prenons un exemple : la division 14÷11.
La division euclidenne se fait très facilement. 11 tient une fois dans 14 et il reste 3 :
| 14 | 11 |
| 3 | 1 |
On multiplie le reste par 10 pour trouver le premier chiffre après la virgule :
| 14 | 11 |
|
30 8 |
1,2 |
On remultiplie le reste par 10 et on trouve le deuxième chiffre après la virgule :
| 14 | 11 |
|
30 80 3 |
1,27 |
Et hop ! Le reste est 3 et on sait déjà ce qui se passe quand on a un reste de 3 puisque c'est c'est déjà arrivé deux étapes auparavant : le prochain chiffre après la virgule est 2 et il reste 8. Puis il y aura un 7 et il restera à nouveau 3. Et ainsi de suite.
| 14 | 11 |
|
30 80 30 80 30 80 30 80 30 80 30 80 30 80 |
1,2727272727272727... |
Ça tourne, ça tourne. On pourrait continuer longtemps comme ça.
Si vous avez encore quelques doutes, prenez d'autres divisions et vous comprendrez rapidement comment ça marche. (Petit conseil : Prenez des diviseurs pas trop grands pour que les cycles soient rapides. La longueur du cycle est au maximum égale au diviseur.)
Voilà ! Cette longue fiche technique sur la division est finie. Je termine en vous disant que si vous n'avez pas tout
compris, ce n'est pas grave. S'il est important de comprendre dans l'ensemble ce qu'est une division et comment ça
marche, il n'est pas non plus absolument indispensable de maîtriser le sujet (et en particulier les calculs
) sur le bout des doigts car comme
vous le savez si vous avez lu
la leçon sur les nombres rationnels,
en maths, on évite souvent les divisions à l'aide des fractions. (Qui feront l'objet de la prochaine fiche).
Donc ne vous acharnez pas à faire des tas de divisions, comme tous les points techniques, le
mieux c'est d'apprendre sur le tas, au fur et à mesure ou vous en aurez besoin dans vos calculs.
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