Une question de diviseur

Commençons par nous intéresser aux diviseurs de 2014. Un diviseur, c'est un nombre par lequel la division de notre nombre tombe juste. Par exemple, 53 est un diviseur de 2014 car 2014÷53=38. En d'autres termes, 53×38=2014.

Le nombre 2014 possède exactement 8 diviseurs : 1, 2, 19, 38, 53, 106, 1007 et 2014. Jusque là, rien d'extraordinaire. Mais ce qui est étonnant, c'est que l'année dernière, le nombre 2013 avait déjà 8 diviseurs et que l'année prochaine, le nombre 2015 en aura encore 8. Notre an 2014 possède autant de diviseurs que son prédécesseur et que son successeur, et ça, c'est déjà plus rare. La dernière année à avoir vérifié cette propriété était 1982 !

Énigme 1. Mais quand sera la prochaine année à vérifier cette propriété ?

Pour aller un peu plus loin, notez qu'il n'est encore jamais arrivé dans l'histoire qu'une année ait le même nombre de diviseurs que les deux années qui l'ont précédé et que les deux années qui lui ont succédé. Pourtant, cela finira bien par arriver, mais il va falloir attendre un moment : la première année qui vérifiera cette propriété sera l'année 11607 !

Zéro qui disparaît et réapparaît

Laissons les diviseurs et passons à un petit tour de passe-passe que nous offre le numéro de notre année. Vous savez évidemment que pour ajouter un 0 à la fin d'un nombre entier, il suffit de le multiplier par 10. Par exemple, 214×10=2140. Mais comment faire pour ajouter un 0 au milieu d'un nombre ?

Prenons le nombre 2014 et enlevons-lui son 0 que nous remplaçons par une virgule : 2,14. Quelle opération faut-il faire pour lui rendre son 0 ? C'est tout simple, cette fois, il ne faut pas multiplier par 10, mais mettre à la puissance 10 :

2,1410≈2014
Bon d'accord, ce n'est qu'environ égal, les détails après la virgule ont été oubliés et le résultat exact est 2014,3629... Mais si vous n'aimez pas les approximation, il suffit d'enlever les chiffres après la virgule et de calculer 210. On trouve alors 2014... mélangé ! Eh oui, 210=1024 est une anagramme de 2014.


Notez d'ailleurs, que le nombre 2014, n'est pas très loin non plus d'une puissance de 2. Il suffit pour l'obtenir de faire 2014+(20+14) et on tombe sur 2048=2×1024=2^11 !

Plus un, fois deux

Partons de 0. Ajoutons-lui 1 et multiplions-le par 2, on obtient 2. Ajoutons à nouveau 1 et remultiplions par 2, et nous voilà à 6. Répétons encore 8 fois cette manipulation et l'on obtient 2046.

Alors 2046 n'est pas 2014 me direz-vous. Bien sûr, mais figurez-vous que dans la suite d'opérations que nous venons d'effectuer, (20 opérations au total : 10 fois +1 et 10 fois ×2) il suffit d'en sauter une et une seule pour se retrouver à 2014.

Énigme 2. Sauriez-vous trouver laquelle des vingt opérations il faut enlever pour tomber sur 2014 ?

Au carrefour des cultures...

Cette année 2014 sera placée sous le signe des mathématiques au carrefour des cultures. Ce sera le thème de la semaine des mathématiques en mars, puis du Salon Culture et Jeux Mathématiques en mai. À cette occasion, je vous propose de terminer par un petit quizz multiculturel ! Ci-dessous, le nombre 2014 est écrit dans différents modes de numération issus de différentes civilisations.

Énigme 3. Sauriez-vous les nommer ?

2014cultures.jpg

À vous de jouer maintenant !

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