Objection n°1 : La notation \(\sqrt{-1}\) est interdite
Faux

Il n'y a en mathématiques aucune autorité officielle chargée de dire ce qui est autorisé ou ce qui ne l'est pas (comme peuvent l'être l'Académie Française pour la langue française ou le Bureau International des Poids et Mesures en physique pour déterminer le système métrique). Le seul critère requis pour juger d'une écriture mathématique est de savoir si elle est juste ou non. L'argument d'autorité n'a donc pas sa place dans ce débat.

Bien entendu, l'usage que font les mathématiciens des symboles détermine des règles de fait. Ainsi, il serait idiot d'utiliser un symbole dans un sens contraire à celui dans lequel tout le monde l'utilise, mais rien ne l'interdit et le seul risque que prendrait une personne à faire ceci serait de ne pas être comprise. On peut d'ailleurs remarquer qu'il arrive qu'un même symbole soit utilisé de façon différente dans des théories différentes[1]. En mathématiques une notation doit être bien définie et cohérente, à partir de là tout est permis : si l'usage d'une notation est clair et bien précisé dans le contexte où on l'utilise cela ne pose aucun problème.

Ainsi, s'il est possible de manipuler la notation \(\sqrt{-1}\) de façon cohérente et sans que cela aboutisse à des contradictions, alors ceux qui ont envie de l'utiliser y sont tout à fait autorisés. Cette notation ne bouleverse en rien les usages et même ceux qui ne souhaitent pas l'utiliser ne peuvent pas contester qu'elle est toujours utilisée dans le même sens et désigne le nombre traditionnellement noté \(i\).

Objection n°2 : La fonction racine carrée n'est définie que sur les nombres réels positifs.
Faux

Encore une fois, pourvu que la définition soit cohérente, il n'est nullement interdit de définir la racine sur les nombres complexes. Or il existe bel et bien une définition standard de la racine carrée sur les nombres complexes, définie de la façon suivante :

\(\forall z=\rho .\textrm{e}^{i\theta}\in\mathbb{C}\) avec \(\rho\geq 0\) et \(\theta\in]-\pi,\pi],\sqrt{z}=\sqrt{\rho}\)\(.\textrm{e}^{i\theta/2}.\)
 

La définition ci-dessus s'appelle la racine carrée principale du nombre \(z\) et a une partie réelle positive. On remarque que l'on retrouve bien \(\sqrt{-1}=i\) en prenant \(z=-1=\textrm{e}^{i\pi}\).

Cette définition est celle qui est utilisée par un bon nombre de calculatrices scientifiques. Si on tape par exemple « racine carrée(-1) » dans Google, la calculatrice Google renvoie le résultat \(i\). Le super calculateur en ligne WolframAlpha renvoie le même résultat, de même que le programme de calcul formel Maple. Les documentations en ligne de ces calculateurs confirment que c'est bien la racine carrée principale qui est utilisée.

Évidemment, définir la fonction racine carrée pour tous les nombres complexes nécessite de faire un choix puisque tout nombre complexe non nul possède deux racines carrées opposées. Le choix standard est donc de prendre la racine ayant la partie réelle positive. Il est à noter qu'un choix se pose de la même manière quand on définit la fonction racine carrée sur les réels positifs qui ont également deux racines carrées opposées. Cette ambiguïté ne peut donc pas être considérée comme un point négatif de l'extension de la fonction racine carrée aux nombres complexes, sans quoi il faudrait également renoncer à la définir sur les réels positifs !

Objection n°3 : Définir \(i\) par \(i=\sqrt{-1}\), manque de rigueur mathématique.
Vrai

Comme nous venons de le dire, tous les nombres complexes \(z\neq 0\) ont deux racines carrées opposées l'une de l'autre. Ainsi -1 possède deux racines carrées : \(i\) et \(-i\), ce qui créé une ambiguïté : la notation \(\sqrt{-1}\) désigne-t-elle \(i\) ou \(-i\) ? Nous avons vu que le choix standard est celui de \(i\) qui est la racine carrée principale de -1, cependant pour faire ce choix, il faut bien que le nombre \(i\) ait été défini avant d'étendre la racine carrée aux nombres complexes. Autrement dit, pour être parfaitement rigoureux, il convient d'abord de construire les nombres complexes, puis ensuite d'étendre la racine carrée. La notation \(\sqrt{-1}\) ne peut donc pas servir de définition au nombre \(i\), mais rien n'empêche son utilisation a posteriori.

Il faut cependant noter que beaucoup de personnes qui pensent que la notation \(i=\sqrt{-1}\) est mauvaise, considèrent que la bonne définition est \(i^2=-1\). Or cette définition est tout aussi ambiguë puisque les deux nombres \(i\) et \(-i\) vérifient tout aussi bien l'équation \(z^2=-1\). En fait, les deux écritures \(i=\sqrt{-1}\) et \(i^2=-1\) sont absolument équivalentes.

Sur cette question, il est également important de distinguer une approche pédagogique destinée à faire comprendre à des étudiants ce que sont les nombres complexes et une approche plus rigoureuse destinée à définir les nombres complexes sans aucune ambiguïté dans les définitions. Une construction parfaitement rigoureuse des nombres complexes est nécessairement plus abstraite et peu adaptée à une première approche intuitive de ces nombres. Pour des étudiants découvrant les complexes, il est pédagogiquement bien plus adapté de définir \(i\) comme une racine carrée de -1 (ou comme un nombre dont le carré vaut -1, ce qui revient au même), quitte à revenir à une construction plus précise un peu plus tard. Cela ne nuit aucunement à la bonne compréhension de ces nombres, bien au contraire.

On peut d'ailleurs noter qu'historiquement lors de la découverte des nombres complexes, les racines de nombres négatifs ont longtemps été utilisées avant que la lettre \(i\) ne les remplace progressivement[2]. L'approche historique du développement des idées est souvent plus compréhensible par les étudiants qu'une présentation d'un bloc d'une théorie achevée et souvent bien plus abstraite.

Objection n°3 : Utiliser la notation \(\sqrt{-1}\) aboutit à des contradictions.
Faux

Un argument souvent utilisé contre l'écriture \(\sqrt{-1}\) est l'existence de calculs apparemment paradoxaux tels que le suivant :

\(1=\sqrt{1}=\sqrt{(-1)\times (-1)}=\sqrt{-1}\times\sqrt{-1}=i\times i=-1.\)

On aboutit ainsi à \(1=-1\), contradiction qui semble condamner la notation \(\sqrt{-1}\). Pourtant, l'erreur dans le calcul précédent ne provient pas de l'utilisation de \(\sqrt{-1}\), mais d'une mauvaise compréhension des règles de calculs.

En effet, c'est l'utilisation de la formule \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\) à la troisième égalité qui est ici à l'origine de l'erreur. Pour comprendre cela, commençons par nous rappeler comment se prouve cette égalité si \(a\) et \(b\) sont des réels positifs. On a :

  1. d'une part \(\left(\sqrt{ab}\right)^2=ab\) (par définition de la racine d'un nombre),
  2. d'autre part \(\left(\sqrt{a}\sqrt{b}\right)^2=\left(\sqrt{a}\right)^2\times \left(\sqrt{b}\right)^2=ab.\)

Ainsi, \(\sqrt{ab}\) et \(\sqrt{a}\times\sqrt{b}\) sont deux nombres qui ont le même carré, ce dont on peut déduire qu'ils sont soit égaux, soit opposés :

\(\sqrt{ab}=\pm\sqrt{a}\times\sqrt{b}.\)

Ensuite, puisque la racine carrée d'un réel positive est un nombre positif, on peut en conclure que ces deux nombres sont positifs, donc ont le même signe et sont égaux.

Il faut remarquer que ce raisonnement s'est fait en deux temps : le premier temps aboutissant à \(\sqrt{ab}=\pm\sqrt{a}\times\sqrt{b}\) est basé uniquement sur des considérations mathématiques tandis que le second, qui fixe le signe s'appuie sur une convention, c'est-à-dire un choix fait par les mathématiciens : tous les nombres complexes (et donc réels) ont deux racines carrées et pour les réels positifs on a choisi que \(\sqrt{x}\) désignerait la racine positive de \(x\). En d'autres termes, \(\sqrt{ab}=\pm\sqrt{a}\times\sqrt{b}\) est une égalité mathématique « pure », tandis que \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\) contient une part de choix humain spécifique aux nombres réels. Ainsi il est naturel de s'attendre à ce que la première formule reste vraie pour les nombres complexes, tandis que la seconde n'a aucune raison particulière de l'être encore.

Et effectivement, on remarque bien que dans le calcul paradoxal présenté ci-dessus, les deux nombres aux extrémités de l'égalité, 1 et -1, sont opposés l'un de l'autre.

Il est intéressant de remarquer ici, que non seulement il n'y a pas de contradiction avec l'utilisation de \(\sqrt{-1}\), mais que la réflexion sur les règles de calculs des racines dans les complexes nous a permis de décortiquer la formule \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\) et de mieux comprendre comment elle fonctionne pour les nombres réels, avec sa part de maths pures et sa part de convention. En nous interdisant par principe d'écrire \(\sqrt{-1}\) nous nous serions privés de cette analyse qui nous permet de comprendre plus en profondeur le fonctionnement des nombres complexes et des règles de calcul sur leurs racines.

Toutes les soi-disant contradictions censées prouver l'impossibilité d'utilisation de \(\sqrt{-1}\) sont basées de manière plus ou moins déguisée sur la même mauvaise utilisation de cette formule.

Objection n°5 : Cette notation est contraire aux usages, personne ne l'utilise donc autant ne jamais apprendre à l'utiliser. L'écriture \(\sqrt{-1}\) est choquante pour les habitués des mathématiques.
Faux

Les gens qui sont choqués par l'écriture \(\sqrt{-1}\) sont la plupart du temps des profs de maths (pas tous heureusement) ou des étudiants qui ont appris de leur profs de maths qu'il fallait être choqué devant cette notation. C'est un cercle sans fin, les profs apprennent à leurs élèves que la notation est interdite et ces derniers l'enseignent à leur tour quand ils sont devenus profs.

Pourtant cette notation ne choque absolument pas les premiers concernés, à savoir les mathématiciens. Certes les mathématiciens écrivent plus souvent \(i\) que \(\sqrt{-1}\) car c'est plus rapide et c'est l'usage, cependant si l'un d'entre eux écrit \(\sqrt{-1}\) par exemple lors d'une conférence, personne dans l'assistance ne sera choqué, pourvu qu'elle soit utilisée correctement.

On peut également remarquer que l'utilisation de \(\sqrt{-1}\) est plus facilement acceptée dans le monde anglophone.

Objection n°6 : Ce n'est pas parce qu'on peut le faire qu'on doit le faire. Nous avons vu qu'une mauvaise utilisation des racines de nombres complexes peut aboutir à des contradictions si on n'y prend pas garde, donc autant s'en passer.
Ça dépend.

Cette réflexion est tout à fait judicieuse pour un étudiant ayant à passer un examen de mathématiques : autant ne pas ajouter de difficultés inutiles à celles qui existent déjà. Il est tout à fait normal qu'un professeur déconseille à ses élèves d'utiliser cette notation subtile qui peut s'avérer traître et piégeuse. Si les étudiants ne jugent pas bon de suivre ces conseils, c'est à leurs risques et périls. Il est toutefois dommage de constater que certains professeurs sanctionnent systématiquement l'utilisation de \(\sqrt{-1}\), même lorsqu'elle est parfaitement correcte !

Cependant, ces conseils judicieux pour un examen ne le sont pas forcément si on étudie les mathématiques par intérêt et pour comprendre leur fonctionnement. S'interdire quelque chose sous prétexte qu'il peut y avoir des pièges, c'est renoncer devant la difficulté et se priver des découvertes que l'on pourrait faire. Un peu comme si au primaire on apprenait aux enfants qu'il n'est pas possible de multiplier des nombres négatifs sous prétexte que la règle des signes peut paraître un peu déroutante et piégeuse au début. En plus d'être un mensonge, cela les dispense de réfléchir aux choses qu'ils sont en train d'apprendre, alors même que développer la réflexion et le raisonnement est censé être la vocation première des mathématiques.

Heureusement que dans l'histoire, les mathématiciens ne se sont pas arrêtés aux premières contradictions apparentes, sans quoi ils n'auraient pas été bien loin. C'est en cherchant à expliquer et à résoudre les difficultés que se développent les nouvelles théories.

Objection n°7 : Cette notation n'a aucun intérêt, tout ce qui peut se faire avec elle peut se faire sans elle, les gens qui l'utilisent font du bruit pour par grand chose.
Faux

L'étude des racines carrées des complexes ne se limite pas à poser une définition et à s'en satisfaire. Au contraire, elle pose de nouvelles questions dont les réponses nous emmènent vers des mathématiques fascinantes.

Ainsi, la fonction qui à un nombre complexe associe sa racine carrée principale n'est pas complètement satisfaisante pour deux raisons : premièrement elle est le fruit d'un choix humain puisque chaque nombre a deux racines carrées, deuxièmement elle n'est pas continue[3]. La résolution de ces problèmes aboutit au développement de nouveaux objets mathématiques comme les fonctions multivaluées (chaque élément peut avoir plusieurs images) ou les surfaces de Riemann.

La surface de Riemann associée à la racine carrée consiste à dédoubler le plan complexe, et à raccorder les deux plans ainsi obtenus de façon à ce que si un point tourne autour de zéro il ne revient à son point de départ qu'après avoir tourné de 720° et être passé dans les deux plans. Ces nouveaux concepts sont passionnants à étudier et offrent une ouverture vers de nouveaux domaines tels que l'analyse complexe.

Riemann_sqrt.jpg

Surface de Riemann associée à la racine carrée complexe - Source : Wikipedia

 

Tout ceci ne serait jamais arrivé si des mathématiciens n'avaient pas cherché à étendre des fonctions telles que la racine carrée aux nombres complexes.

Notes

[1] Par exemple la lettre grecque \(\Delta\) (Delta) signifiera la différence symétrique de deux ensembles, le laplacien ou encore le discriminant d'un trinôme du second degré selon le contexte dans lequel elle est utilisée.

[2] Les nombres complexes apparaissent historiquement lors de la résolution des équations du troisième degré. Ils ne sont alors considérés que comme des intermédiaires de calcul et non comme des nombres à part entière. Voir la méthode de Cardan à ce sujet.

[3] Les points de discontinuité sont les réels négatifs.