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On entend souvent dire que le monde est en trois dimensions (3D pour les intimes 
),
mais qu'est-ce que cela veut dire exactement ?
Voilà la question à laquelle nous allons répondre dans ce premier chapitre de géométrie. Nous allons voir ce qu'est une dimension et pourquoi notre espace en a trois.
Voici le plan de ce chapitre :
En géométrie, la notion de base est celle de point. Un point c'est un emplacement dans l'espace. Attention, ce n'est pas une une zone, mais bien un endroit précis. Un point c'est le plus petit objet géométrique, un point ne peut pas être coupé en plusieurs morceaux. Toutes les figures géométriques que nous pouvons construire ne sont que des assemblages de plusieurs points.
Je suis sûr que vous brûlez d'impatience de voir un point. Bien, bien en voici un :
Comment ça vous ne voyez rien. Mais si regardez bien il est juste ici :
Non ? Vous ne voyez toujours rien, bon alors je l'agrandis :
Comme ça, ça va mieux ! 
C'est le problème avec les points : on est obligé de les agrandir pour les voir car la taille d'un point est 0. Du coup on représente souvent les points avec des ronds (comme ci-dessus) ou avec des croix :
Le point est à l'intersection des deux traits de la croix.
Ceci dit, les points tout seuls ne sont pas très intéressants. Ça commence à être intéressant quand on prend des ensembles de points, c'est à dire des groupes de plusieurs points. Ces ensembles de points s'appellent des figures géométriques.
Voici quelques exemples de figures géométriques (les points sont coloriés en vert) :
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Un triangle |
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Un arc de cercle |
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Une spirale |
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Un cube |
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Un... euh... Une figure géométrique bizarre.
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Toutes ces figures géométriques sont composées d'une infinité de points.
Il existe toutes sortes de figures géométriques. Nous voulons donc faire un peu de tri parmi elles, c'est pourquoi nous les classons en trois niveaux différents : les trois dimensions. Il y a les figures en une dimension (1D), les figures en deux dimensions (2D) et les figures en trois dimensions (3D).
Ne nous perdons pas dans des discussions interminables, venons en tout de suite au fait. Quelles sont les trois dimensions ?
Une figure géométrique de dimension 0, c'est juste un point.
La première dimension, c'est la dimension des lignes.
Voici quelques exemples de figures de dimension 1 :
Ah oui ! Excusez moi, j'ai encore oublié d'agrandir les points 
:
En théorie les lignes ont une épaisseur égale à 0 mais en pratique on les dessine quand même
avec une petite épaisseur pour pouvoir les voir. 
La deuxième dimension, c'est la dimension des surfaces.
Voici quelques figures de dimension 2 :
Vous remarquerez que cette fois, il n'y a pas besoin d'agrandir les points ! Les surfaces sont visibles à l'œil nu.
La troisième dimension, c'est la dimension des volumes.
Voici quelques figures de dimension 3 :
Votre écran d'ordinateur est plat, il est donc impossible d'y représenter réellement une figure en 3D. C'est pour ça
qu'on utilise un effet de perspective avec des zones d'ombre et de lumière (dans les figures ci dessus il y a plusieurs
nuances de vert). Le dessin est en 2D, mais par cet effet vous le voyez comme un objet en 3D.
Si vous voulez voir des vrais objets en 3D, relevez quelques secondes le nez de cet écran et regardez autour de vous :
vous en êtes entouré !
Il y a aussi des figures en perspective dans les exemples en 2D. En effet, une surface n'est pas obligée d'être plate, elle peut se déformer, se tordre en trois dimensions tout en restant une surface, donc une figure en deux dimensions.
Il ne faut pas confondre :
| Le tour du carré Dimension 1 |
et | Le carré Dimension 2 |
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En fait, le mot carré
est assez général et peut aussi bien désigner la surface (2D) que le tour (1D).
| Le cercle Dimension 1 |
et | Le disque Dimension 2 |
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Pour le cube on peut même avoir les trois dimensions 
:
| Les arêtes du cube (dimension 1) |
et | Les faces du cube (dimension 2) |
et | Le cube (dimension 3) |
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Remarque : Dans la figure du milieu, j'ai enlevé la face de devant pour que vous puissiez voir que le cube est creux à l'intérieur. Si j'avais mis cette face, le dessin aurait été identique au troisième qui lui représente un cube plein.
Nous verrons dans un chapitre ultérieur que toutes les figures géométriques ne peuvent pas être classées dans ces trois catégories.
Il y en a qui ne sont ni en 1D, ni en 2D, ni en 3D. Cependant, toutes les figures classiques que l'on voit
quand on débute en géométrie sont soit des lignes, soit des surfaces, soit des volumes.
Donc pas de problème pour l'instant. 
Vous aimez voyager ? Ça tombe bien, vous allez beaucoup vous déplacer dans cette partie. Vous êtes l'agent secret
MM-001 en mission spéciale pour MicMaths. (Si, si, puisque je vous le dis )
Première mission : Sur la route.
Pour votre première mission, vous êtes sur la route qui relie MicMaths-city à Lokiville qui se trouve à 40 kilomètres de distance :
Quand soudain, la base vous appelle et vous demande de lui communiquer votre position précise.
La question est : comment faire pour communiquer cette position ?
La réponse est assez simple (normal, c'est votre première mission, mais ça va se compliquer ensuite
). Il suffit de dire à quelle distance de MicMaths-city vous vous trouvez.
Par exemple, si vous êtes à 23,7 kilomètres de MicMaths-city, il suffit de donner cette information à la base pour quelle
sache immédiatement ou vous êtes :
Il n'y a pas d'ambiguité : Sur la route de MicMaths-city à Lokiville, il n'y a qu'un seul point qui se trouve à 23,7 kilomètre de MicMaths-city.
La route de MicMaths-city à Lokiville est une ligne, on peut donc la représenter par une figure géométrique de dimension 1. Nous venons donc de voir que pour indiquer la position d'un point sur une figure géométrique de dimension 1, il suffit de donner un nombre.
Première mission réussie ! Bravo agent MM-001. 
Deuxième mission : En mer.
Suite à votre premier succès, vous êtes promu au rang d'agent MM-002 et vous êtes maintenant en mission en pleine mer sur un bateau. Vous êtes parti du port de MicMaths-city :
Et voilà que la base vous appelle de nouveau pour vous faire la même demande : Communiquez nous votre position précise.
Seulement voilà : cette fois ci, vous ne pouvez pas procéder de la même façon que lors de votre première mission. En effet,
si vous donnez à votre base la distance qui vous sépare du port de MicMaths-city, elle ne pourra pas savoir où vous êtes
exactement car il y a plusieurs points à la même distance du port.
Si vous êtes à 100 kilomètres du port, tous ces points sont possibles :
La base ne sait pas sur quel point du cercle vous vous trouvez. Il faut donc trouver une autre façon de faire.
Une solution est la suivante, vous pouvez dire : Je suis à 60 kilomètres au nord et 80 kilomètres à l'ouest de MicMaths-city.
Cette fois, il n'y a plus de doutes possibles :
Ce qu'il est important de noter ici, c'est qu'il vous a fallu 2 nombres pour indiquer votre position : la distance vers le nord et la distance vers l'ouest.
La mer est une surface, on peut donc la représenter par une figure géométrique de dimension 2. Ainsi, pour indiquer la position d'un point sur une figure géométrique de dimension 2, il faut donner deux nombres.
La surface du globe est de dimension 2. En général, pour indiquer la position d'un point sur la planète on utilise la latitude
et la longitude.
La latitude est un nombre qui indique la position nord-sud, qui part de -90 au pôle sud et arrive à 90 au pôle sud
en passant par 0 à l'équateur.
La longitude elle indique la position est-ouest elle va de -180 à 180 en tournant d'ouest en est et passe par 0 au méridien de Greenwich.
Troisième mission : Dans les airs.
Vous êtes désormais l'agent MM-003 et cette fois, vous voyagerez en montgolfière.
Vous commencez à avoir l'habitude, la base vous appelle et vous demande votre position.
Cette fois, il est clair que cela ne suffit pas de donner la distance vers le nord et vers l'est comme précédemment. Il faut en plus donner votre altitude.
Vous indiquez donc : 4 kilomètres vers l'ouest, 3 kilomètres vers le nord et 1 kilomètre de hauteur.
L'atmosphère est un volume, autrement dit, elle se représente par une figure de dimension 3. Pour indiquer la position d'un point dans une figure géométrique de dimension 3, il faut donner trois nombres.
La dimension, c'est le nombre d'informations qu'il faut donner pour retrouver un point dans une figure géométrique.
On appelle aussi cela le nombre de degrés de liberté. Plus la dimension est grande, plus on est libre de se déplacer. On est moins coincé en quelque sorte.
Et en diagonale alors ? Si on peut aller d'avant en arrière et de gauche à droite, pourquoi ne peut-on pas aller aussi en diagonale ?
Ce qu'il faut comprendre c'est que si on peut aller en avant, en arrière, à gauche et à droite, on peut aller à n'importe quel endroit si on se déplace sur une surface (et le sol est une surface). Si vous voulez aller en diagonale, vous irez peut-être plus vite mais vous ne découvrirez pas de lieux cachés que vous ne pouviez pas atteindre avec les deux directions que vous avez déjà.
Un pas en diagonal est équivalent à un pas vers la droite et un pas en avant.
En revanche, si vous voulez vous élever dans les airs, vous ne pourrez pas le faire avec uniquement les deux directions avant/arrière et gauche/droite. Cette fois, il s'agit d'une vraie nouvelle dimension. Vous avez alors besoin de pouvoir vous déplacer selon la nouvelle direction haut/bas.
Euh... juste une dernière question.
Pourquoi considère-t-on droite/gauche comme une seule dimension et pas comme deux, la dimension à droite et la dimension à gauche ?
(et pareil pour avant/arrière et haut/bas).
En géométrie, on fait la distinction entre la direction et le sens. Une direction possède deux sens. Pour la direction gauche/droite, il y a le sens vers la gauche et le sens vers la droite.
La dimension compte le nombre de directions et non pas le nombre de sens. Nous avons vu que la dimension c'est le nombre d'informations qu'ils faut donner pour indiquer la position d'un point. Mais ces informations peuvent être des nombres positifs ou négatifs. Par exemple, si vous êtes en dimension 1 : vous ne pouvez vous déplacer que selon la direction droite/gauche. Vous pouvez indiquer les positions vers la droite par des nombres positifs et celles vers la gauche par des nombres négatif. Si vous êtes à 3 kilomètres à gauche de votre point de départ vous indiquerez la position -3. Et si vous êtes à 3 kilomètres à droite vous indiquerez la position +3.
Finalement avec les nombres négatifs, on voit bien que la droite et la gauche c'est la même chose. De même pour l'avant et l'arrière ou le haut et le bas :
Voilà ! Ce premier chapitre de géométrie est terminé. Dans le deuxième chapitre nous apprendrons à mesurer la taille de ces figures géométriques des trois dimensions.
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