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Alors c'est décidé ! Nous allons reprendre ensemble les mathématiques à la base, pour le plaisir de comprendre.
Démarrez vos cerveaux, faîtes chauffer vos neurones, libérez vos cellules grises !
Dans ce premier chapitre, nous allons apprendre à compter.
Mais non, je ne vous prend pas pour
des idiots, seulement on a dit qu'on reprenait tout depuis le début, alors on reprend vraiment tout depuis le début !
Ne vous inquiétez pas, ce premier chapitre sera bref.
C'est parti !
Voici le plan de ce chapitre :
Bienvenue dans le monde des chiffres et des nombres.
Au fait, c'est quoi la différence entre un nombre et un chiffre ?
C'est très simple !
Les chiffres il y en a dix : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Ils n'ont aucune valeur, ce sont juste des caractères, des symboles graphiques,
qui servent à écrire les nombres. De la même façon que les lettres servent à écrire les mots mais n'ont pas de signification.
Les nombres représentent une valeur.
Ils sont composés d'un ou plusieurs chiffres et éventuellement d'autres symboles comme par exemple
un signe moins (-126) ou une virgule (17,31)
(on verra ça un peu plus tard).
Il y a même certains nombres que l'on peut écrire autrement qu'avec des chiffres
(le célèbre nombre π par exemple (se lit pi
)).
Mais pourquoi y a-t-il dix chiffres ?
Parce que les êtres humains ont dix doigts ! C'est très probablement la raison pour laquelle nos ancêtres qui ont inventé notre système d'écriture des nombres ont choisi d'utiliser dix chiffres. 
Tant que l'on ne compte pas au delà de dix, tout va bien nos doigts nous suffisent, mais dès que l'on veut aller plus loin, il faut inventer un stratagème, on fait des paquets de dix et c'est comme cela que naît la dizaine, qui vaut dix unités. Puis au bout de dix dizaines, voilà la centaine, le millier...
Le nombre de chiffres s'appelle la base : nous comptons donc en base dix. Mais il est tout à fait possible de faire des mathématiques dans une base différente. Dans l'antiquité, la civilisation babylonienne écrivait ses nombres en base soixante. Nous verrons un peu plus en détail dans la partie 2 de cette leçon comment compter dans une base différente de 10.
Ne vous affolez pas, dans la suite, sauf mention du contraire, j'utiliserai toujours la base 10 à laquelle tout le monde
est habituée (et d'ailleurs quand j'écris 10, j'utilise la base dix
).
L'unité, plus communément appelé le un
(et noté 1) est le premier des nombres.
Ensuite vient le deux (2), puis le trois (3), le quatre (4),
le cinq (5), le six (6), le sept (7), le huit (8), le neuf (9), le dix (10), le onze (11), le douze (12)...
enfin je ne vais pas tous vous les faire parce qu'il y en a beaucoup
(une infinité plus exactement 
) et puis vous les connaissez sûrement déjà un peu.
Mais qu'a-t-il de particulier ce zéro pour qu'il mérite qu'on lui consacre une partie à lui tout seul ? Pourquoi ne l'a-t-on pas mis avec les autres ?
Et oui, ce nombre là est spécial. Je vais essayer de vous faire comprendre pourquoi dans ce qui va suivre. Mais avant, laissez moi vous poser une question qui n'a rien à voir.
Combien avez vous mangé de caramels mous aujourd'hui ?
Vous vous doutez bien que si je vous pose la question, c'est que j'ai une idée derrière la tête.
Rien ne vous choque dans ma question ? Non ? Vous êtes sûrs ?
Ce que je voudrais que vous remarquiez c'est qu'elle n'a pas de sens. Comment puis-je vous poser cette question
alors que je ne sais même pas si vous avez mangé des caramels mous aujourd'hui ?! 
Demander à quelqu'un combien de caramel mous il a mangé avant de savoir s'il en a mangé est aussi absurde que de lui demander s'il a aimé le film sans savoir s'il revient du cinéma ou comment s'appellent ses enfants sans savoir s'il en a !
Réfléchissez y bien. Et si vous n'arrivez pas à trouver ma question absurde, c'est que vous êtes trop intelligent
et que vous anticipez déjà sur ce que je vais dire après.
Bref, revenons à nos caramels mous. Concernant votre consommation aujourd'hui il y a deux possibilités :
Alors, si et seulement si je sais que vous en avez mangés, je peux vous demander combien. Et vous pourrez me répondre 1, 3, 7, 24 ou 476, enfin l'un des nombres que nous avons vu au sous-chapitre précédent.
Ce qu'il est important de constater ici, c'est il y a deux cas de figure totalement opposés : Soit vous avez mangé des caramels mous soit vous n'en avez pas mangé.
Et c'est là que notre merveilleux zéro intervient : Dans le deuxième cas, je sors ma baguette magique et abracadabra, j'invente un nouveau nombre, je l'appelle zéro (et le note 0) et je vous annonce triomphalement qu'aujourd'hui vous avez mangé zéro caramels mous !
Et à partir de cet instant tout deviens possible (ou presque), une fois le zéro inventé, je peux sans complexe affirmer :
L'invention du nombre zéro permet de réduire en une théorie unique des situations qui auparavant nécessitaient que l'on distingue deux cas. Pour nombre de civilisations antiques, l'utilisation du zéro n'était pas naturelle du tout. Aujourd'hui, l'emploi de ce nombre est tellement répandu et évident qu'on finit par en oublier à quel point ce principe est profondément astucieux !
Alors là je crois que c'est le bon moment pour placer une petite citation :
Faire des mathématiques, c'est donner le même nom à des choses différentes.
Henri Poincaré
Cette citation, je pense que vous la retiendrez même si vous n'en avez pas envie parce que je l'aime beaucoup et que je vais vous
la rabâcher à toutes les sauces dans cette leçon et dans les autres.
Avant il y avait deux cas différents. Maintenant nous allons leur donner le même nom, celui d'entier naturel, il n'y a plus qu'un cas : aujourd'hui vous avez mangé un nombre entier naturel de caramels mous. Les entiers naturels, vous l'aurez compris, ce sont tous les nombres vus jusque là, zéro compris : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23... Ils sont aussi parfois appelés les entiers positifs (par opposition aux entiers négatifs que nous allons bientôt voir apparaître...)
Au cours des différentes leçons de ce site vous vous rendrez rapidement compte que les mathématiques poursuivent toujours ce but : généraliser, encore généraliser, toujours généraliser, bref : donner le même nom à des choses différentes.
Pour votre culture générale, Henri Poincaré (1854, 1912)
était un mathématicien et physicien français qui a travaillé notamment sur le calcul différentiel et la théorie du chaos.
Bien, alors maintenant que nous avons nos nombres, il faudrait apprendre à en faire quelque chose ! Nous voudrions les manipuler, faire des opérations avec... Et la première des opération, c'est l'addition !
Les nombres représentent une valeur, une quantité, et la question qui se pose est la suivante : lorsque nous avons a deux nombres, que pouvons-nous faire avec ?
Et bien allons-y prenons deux nombres. Voici 5 :
Si vous ne les avez pas reconnu, ce sont les cinq premières planètes du système solaire (Mercure, Venus, la Terre, Mars et Jupiter). Et maintenant voici 3 (Saturne, Neptune et Uranus) :
Et maintenant que nous avons d'un coté 5 et de l'autre coté 3, que pouvons-nous faire, je vous le demande ? Comment ? Les mettre ensemble ? Quelle brillante idée ! Alors allons-y :
|
|
|
Et qu'obtenons-nous ? 8 !!! Qui l'eût cru ?
Permettez-moi de vous féliciter chaleureusement, vous venez de réussir une addition ! C'était dur, hein ?
On note une addition avec le signe +. Mathématiquement, l'addition que nous venons de faire s'écrit de la façon suivante : 5+3=8. Le résultat d'une addition s'appelle la somme. On dit que huit est la somme de cinq et de trois.
La soustraction, c'est presque aussi simple : c'est une addition, mais dans l'autre sens.
Une soustraction se note avec le signe -. La soustraction qui correspond à l'addition précédente est : 8-3=5. Le résultat d'une soustraction s'appelle la différence. La différence de 8 et de 3 est 5.
Vous ne trouvez pas que tout ce que j'ai dit jusque là est trop facile ? Si ?
Alors je vais compliquer un peu en rajoutant des
et des
.
Parce qu'en maths c'est bien de faire des exemples, mais il faut aussi faire des choses un peu plus abstraites !
À partir de maintenant, nous noterons
et
deux nombres. Et on considère la soustraction
.
Dans l'exemple précédent,
est 3 et
est 8.
Il existe deux façons de voir cette soustraction. La différence y-x peut être interprétée comme :
Cela revient exactement au même. Le premier point est le plus intuitif, mais le second est souvent très utile.
Il est souvent pratique quand on fait des calculs d'inventer des choses qui n'existent pas mais qui permettent de gagner du temps de façon astucieuse. En voici un exemple.
Nous sommes le 20 octobre aujourd'hui. Quel jour serons-nous dans 17 jours ?
À cette question, beaucoup de gens raisonnent de la façon suivante :
Une addition ne suffit pas. Le changement de mois, oblige à faire une étape pour passer du 31 octobre au 1er novembre. Mais voilà maintenant une autre manière de raisonner :
37 octobre = 6 novembrecar 37-31=6 (il y a 31 jours dans le mois d'octobre).
Voilà l'astuce ! Ce n'est pas parce que le 37 octobre n'existe pas que l'on ne peut pas imaginer qu'il existe pour simplifier les calculs. Vous découvrirez bientôt qu'en mathématique on utilise souvent ce genre de méthode.
Bon ce n'est pas très compliqué tout ça, est-il nécessaire de s'y attarder plus longtemps ? Ah si, tout de même une remarque :
si le nombre
est plus grand que le nombre
,
il n'est pas possible de soustraire
à
.
On ne peut pas calculer
.
Hum, hum, les mathématiciens n'aiment pas ne pas savoir faire. Il va falloir remédier à ça.
La solution au problème des soustractions impossibles, je vous la donne dans le mille : les nombres négatifs ! Et oui, en mathématique quand des opérations ne sont pas faisables, on invente des nouveaux nombres.
Augusta secoua l'engourdissement qui la gagnait. Un souvenir de sa propre jeunesse émergea. C'était une nuit d'hiver, elle était toute petite, et elle avait compris qu'il pouvait exister des nombres en dessous de zéro... 3, 2, 1, 0 et puis -1, -2, -3... Des nombres à l'envers ! Comme si on retournait le gant des chiffres. Zéro n'était donc pas la fin ou le commencement de tout. Il existait un autre monde infini de l'autre coté. C'était comme si on avait fait éclater le mur du "zéro".
Bernard Werber, Les Fourmis
Ces nouveaux nombres, sont donc -1, -2, -3, ... (et se lisent "moins un", "moins deux", "moins trois", ...) Si on rajoute ces entiers négatifs aux entiers naturels que nous avons vus précédemment, on obtient les entiers relatifs (ou les nombres entiers tout court).
Schématiquement, cela donne ça :
La question est maintenant : comment fonctionnent-ils ces entiers relatifs ? Autrement dit qu'obtient-on quand on additionne ou quand on soustrait deux entiers relatifs ?
Commençons par la soustraction puisque c'est pour elle que nous avons créé les entiers relatifs.
Soustraire un nombre
à un nombre
,
c'est calculer l'écart de
à
que l'on note
.
Si
est plus petit que
,
cette différence est positive (on avance pour aller de
à
) :
Si
est plus petit que
, cette différence est négative (on recule pour aller de
à
) :
On constate un phénomène tout à fait logique mais qui peut paraître curieux la première fois qu'on le rencontre : soustraire un nombre négatif, cela revient à ajouter un nombre positif ! En enlevant -4 à 3, on a obtenu 7 ce qui revient à avoir ajouté 4 à 3. Pour comprendre cela prenons l'exemple suivant :
On sait parfaitement ce que signifie posséder 7€ mais quelle signification donner à posséder -7€ ? En fait, posséder -7€, cela revient à dire que l'on a une dette de 7€. Ainsi, gagner -7€, c'est gagner une dette de 7€, c'est donc perdre 7€. Et réciproquement, perdre -7€, c'est perdre une dette de 7€, c'est donc gagner 7€. D'où la règle : soustraire un nombre négatif c'est ajouter un nombre positif !
Une fois que l'on a compris ça, le principe de l'addition est très simple :
Voici l'addition 4+(-3) (qui donne évidemment -1) :
Oui bon c'est très joli tout ça, mais concrètement, est-ce que ça simplifie vraiment les choses ?
Oui ! C'est utile pour faire vos comptes comme nous l'avons déjà vu. Mais prenons un autre exemple. Pour donner l'altitude d'un point de la planète, il faut :
Par exemple, le mont Everest se trouve à 9000 mètres au dessus du niveau de la mer. La fosse des Mariannes (océan pacifique) se situe à 11000 mètres de profondeur sous le niveau de la mer. Nous sommes dans la même situation qu'avant la création du zéro (souvenez-vous) : nous avons deux cas de figure opposés et on aimerait bien généraliser tout ça.
Et la généralisation, ce sont les entiers relatifs qui nous la donne. Les altitudes seront positives au dessus du niveau de la mer et négatives en dessous. Ainsi, on peut simplement dire : l'Éverest est à 9000 mètres d'altitude et la fosse des Mariannes à -11000 mètres d'altitude.
Mais attention si vous dîtes que la fosse des Mariannes se situe à -11 kilomètres
en dessous du niveau de la mer,
cela signifie qu'elle
se situe à 11 kilomètres au dessus du niveau de la mer, soit deux kilomètres de plus que l'Everest
.
Il y a une redite entre le - de -11 et le en dessous du niveau de la mer.
C'est une erreur fréquente.
Cet exemple reste simple, mais les entiers relatifs sont très utiles dans la science. En science physique, la position d'un objet est donné par ses coordonnées par rapport à un point d'origine. Dans l'exemple précédent ce point d'origine est le niveau de la mer, cela peut aussi concerner des planètes dans l'espace et le point d'origine est le soleil. Dans tous les cas, la position d'un point peut-être positive ou négative selon le coté du point d'origine où il se trouve.
Voilà ! C'est tout pour l'instant sur les entiers, l'addition et la soustraction et pour finir ce chapitre, je vous propose une petite touche d'humour mathématique.
Mais juste avant de libérer nos zygomatiques, je vous dois une petite mise au point : les blagues de mathématiciens font souvent intervenir deux types de personnages : le mathématicien et l'ingénieur. Le premier incarne l'esprit théorique, abstrait et dépourvu de tout sens pratique, tandis que le second, plus pragmatique, voit d'abord le coté concret des choses. La preuve par l'exemple :
Un ingénieur et un mathématicien, attendent devant une maison vide. Au bout de quelques minutes, ils voient
une personne y entrer. Cinq minutes plus tard, deux personnes en sortent.
Nos informations étaient inexactes, dit l'ingénieur, cette maison n'était pas vide au départ !
. Et le mathématicien
de dire : Si une autre personne entre dans cette maison, alors elle sera vide.
Ha ha ha !
Le mathématicien considère qu'il y a -1 personne dans la maison.
Si vous avez compris du premier coup, c'est bon signe : l'Esprit de Mathématiques vous habite !
Et vous en aurez besoin pour la suite .
Voilà, ce premier chapitre est terminé !
Il n'était pas très dur, mais l'important, c'est surtout que vous compreniez la démarche qui consiste à sans cesse
inventer de nouveaux nombres pour pouvoir faire face à de plus en plus de situations différentes.
C'est d'ailleurs ce qui va nous motiver, dès le prochain chapitre, à inventer les fractions
.
Quoi ? J'ai dit quelque chose de mal ?
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