Les leçons
Les ateliers
Médiathèque
Dans le chapitre précédent, nous avons obtenu l'addition en mettant des nombres les uns à coté des autres, nous allons maintenant inventer la multiplication en mettant des additions les unes à coté des autres.
Voici le plan de ce chapitre :
Qu'est-ce qu'une multiplication ?
Une multiplication, c'est plusieurs additions mise les unes à la suite des autres. Ou plus précisément la même addition effectuée plusieurs fois de suite. Pour comprendre cela, rien de tel qu'un petit exemple.
Une journée compte vingt-quatre heures. Alors combien d'heures comptent deux jours ? Héhé, très simple me direz vous, il suffit de faire une addition : 24 + 24 = 48. Donc deux jours font quarante-huit heures.
Jusque là très bien. Alors on continue : combien y a-t-il d'heures dans trois jours ? Bien entendu la réponse vous la connaissez : 24 + 24 + 24 = 72. Soixante-douze heures.
Alors là je pousse un peu plus loin et je vous demande combien d'heure compte le mois de janvier
(31 jours). Dans la théorie, la réponse n'est pas plus compliquée pourtant dans la pratique, je vois que vous souriez déjà moins :
24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 +
24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 = 744.
Ceci est tout à fait exact, mais possède tout de même un petit défaut : c'est long à écrire.
Je vous laisse imaginer ce que cela donnerais si l'on voulait calculer le nombre d'heure dans une
année ou dans un siècle 
!
C'est pour y remédier qu'on invente une nouvelle notation : la multiplication est née.
Cette nouvelle notation je vous la donne :
lorsque l'on additionne
fois le nombre
,
soit
,
on abrège ceci en écrivant
.
C'est quand même plus agréable, non
?
Dorénavant :
| On n'écrit plus | 2+2+2, | on écrit | 3×2. |
| On n'écrit plus | 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5, | on écrit | 11×5. |
| On n'écrit plus | 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16, | on écrit | 6×16. |
| On n'écrit plus | 4825+4825, | on écrit | 2×4825. |
| On n'écrit plus |
|
on écrit |
|
Finalement, il n'y a rien de nouveau là dedans. La multiplication est juste une astuce pour écrire plus simplement plusieurs additions à la suite.
Le résultat d'une multiplication est un produit. Par exemple, le produit de 2 et de 3 est 6.
Les nombres obtenus en multipliant
par un autre nombre sont les multiples de
.
Dans l'exemple précédent, 6 est un multiple de 3. (En fait, 6 est un multiple de 1, de 2, de 3 et de 6.)
Et si on fait un tableau récapitulant toutes les multiplications (et donc les multiples) d'un nombre
de 0 jusqu'à 10,
on obtient les terribles tables de multiplications qui ont fait frémir plus d'un écolier !!
Par exemple, voici la table de 7 :
| 7×0 | = | 0 |
| 7×1 | = | 7 |
| 7×2 | = | 14 |
| 7×3 | = | 21 |
| 7×4 | = | 28 |
| 7×5 | = | 35 |
| 7×6 | = | 42 |
| 7×7 | = | 49 |
| 7×8 | = | 56 |
| 7×9 | = | 63 |
| 7×10 | = | 70 |
Cela devient un peu plus subtil quand les nombres négatifs s'en mêlent.
Peut-on multiplier des nombres négatifs.
La réponse est oui. Le mieux est de faire des exemples.
Premier exemple : Combien vaut 3×(-10) ? La réponse simple : (-10) + (-10) + (-10) = -30. Logique : si vous avez trois dettes de 10 euros, cela vous fait une dette de 30 euros (-30 euros) !
Deuxième exemple : Combien vaut (-4)×5. Ajouter -4 fois de suite le nombre 5 ?! Cela a un sens si on se rappelle que le contraire d'une addition, c'est une soustraction, il s'agit donc de soustraire 4 fois le nombre 5 : - 5 - 5 - 5 - 5 = -20. Si on vous donne -4 billets de 5 euros, ça signifie qu'on vous les enlève ce qui revient bien à vous donner une dette de 20 euros.
Troisième et dernier exemple : Combien vaut (-2)×(-15) ? On vous soustrait 2 dettes de 15 euros. Alors vous êtes contents ou pas ? Content évidemment : si on vous prend vos dettes, vous ne les avez plus, donc vous gagnez de l'argent ! - (-15) - (-15) = 30.
Dans la section suivante, nous allons réfléchir un peu plus attentivement à ce dernier exemple.
La règle des signes que nous avons établie est la suivante :
Les plus astucieux d'entre vous trouverons certainement cette règle logique avec les explications précédentes.
Pourtant, le dernier point,
Moins × Moins = Plus
est souvent difficile à digérer et l'objet de nombreuses incompréhensions.
Comment deux nombres négatifs, donc tous deux en-dessous de zéro, pourraient-ils en se multipliant se retrouver comme par magie de l'autre coté de zéro et donner un nombre positif ?
Ce qu'il faut bien comprendre ici, c'est que multiplier par un nombre négatif c'est retourner les nombres.
Or si vous vous retournez deux fois sur vous même, vous vous retrouverez dans le même sens qu'au départ.
Cette même règle, vous la connaissez déjà sous d'autres formes :
Est-ce que ça commence à être plus clair dans votre esprit ? Bon, dans tous les cas je vais quand même en rajouter une couche
,
car je considère ce point comme très important !
Prenons un nombre négatif, par exemple -3, et regardons sa table de multiplication :
Cette table, en plus d'être juste, doit maintenant vous paraître logique et tout à fait naturelle.
Deux dettes de 3 euros font une dette de 6 euros ; dix dettes de 3 euros font une dette de 30 euros ;
zéro dettes de 3 euros font une dette de 0 euros ; tout va bien.
Si vous l'observez d'un peu plus près, vous vous rendez compte d'une chose : pour passer d'une ligne, à la ligne
en dessous, on soustrait trois et on s'enfonce un peu plus dans les nombres négatifs. Pour
passer d'une ligne à la ligne au-dessus on ajoute 3 et on se rapproche de 0 et des nombres positifs :
Avec cette constatation, on peut maintenant rajouter des lignes au-dessus :
Cette fois, c'est clair : la multiplication de deux nombres négatifs donne un nombre positif.
Je vais m'arrêter là car j'ai déjà beaucoup insisté 
,
mais dîtes vous qu'il existe mille logiques et mille façons de comprendre cette règle du
Moins × Moins = Plus
donc n'hésitez pas à tourner et retourner cette question
dans votre tête pour trouver celle qui vous convainc...
La commutativi...quoi ?!?
Oh là, ne vous affolez pas. Le mot est un peu barbare mais vous allez voir qu'il ne cache rien de compliqué.
La multiplication est une opération commutative, ce qui signifie tout simplement que l'on peut commuter les deux nombres que l'on multiplie, autrement dit on peut faire une multiplication dans le sens que l'on veut :
,
ou encore 2×3 = 3×2 = 6, 13×17 = 17×13 = 221, ...
Et ceci est bien pratique quand on apprend les tables de multiplications car du coup on en a deux fois moins à retenir ! Alors on dit merci qui ? Merci la commutativité.
Elle est commutative la multiplication, ça vous le savez (ne serait-ce que parce que je viens
de vous le dire
).
Mais sauriez-vous expliquer pourquoi ?
Pourquoi
?
Par exemple, pourquoi 5×6 = 6×5 ?
Attention, je sens qu'il y a des petits malins qui vont me répondre : Parce que 5×6 et 6×5 valent tous les deux 30
!
Bien sûr, c'est vrai, mais ce n'est pas cela que j'attends ici pour deux raisons :
Mettons nous à la place d'un jardinier qui plante 5 rangées de 6 arbres :
Il y a donc un total de 5×6 arbres.
Oui mais, 5 rangées horizontales de 6 arbres, c'est aussi 6 rangées verticales de 5 arbres :
Ce qui fait un total de 6×5 arbres.
Et voilà : 5×6 = 6×5 !
Et là, vous voyez bien que le même raisonnement fonctionne pour toutes les multiplications
.
rangées horizontales de
arbres
(
)
=
rangées verticales de
arbres
(
).
Ce petit raisonnement tout simple montre que la multiplication est commutative.
Vous voyez, ce n'était pas si terrible.
Je pense que vous commencez à comprendre le principe. Quand on a inventé une nouvelle opération, on cherche l'opération inverse.
Supposons que nous venions de réaliser le produit 3×7 par inadvertance. On se retrouve alors avec un 21 sur les bras. On voudrait bien réparer les dégâts et revenir à notre 3 initial.
Pas de panique ! La division est là pour nous :
La division est le contraire d'une multiplication. Mais alors quel sens lui donner et dans quels contextes peut-on l'utiliser ?
En fait, il existe deux façons de voir une division
(de la même façon qu'il y a deux façons de voir une soustraction, si vous l'avez
déjà oublié, c'est par ici que ça se passe).
Une division
,
c'est :
Rien d'autre à ajouter sur la division ?... Ah si ! juste une dernière chose : Il n'est pas possible de diviser y par x si y n'est pas un multiple de x.
Comment ça impossible ?! Laissez moi rire...
Mise en situation : c'est votre anniversaire, tous vos amis sont là et il y a deux gros gâteaux très appétissants sur la table.
Et là, vous vous exclamez : Quoi ? deux gâteaux pour vingt personnes ! Ah non, désolé ce n'est pas possible, 2 n'est
pas divisible par 20. Non, non, n'insistez pas, je l'ai lu sur MicMaths
c'est mathématiquement infaisable !!
Hum... Euh, non attendez, je n'ai jamais dit ça moi. Lisez la suite
avant de virer tous vos amis...
C'est maintenant que nous allons voir si vous suivez. En mathématique, que fait on quand une opération est impossible ?
Réponse : on invente des nouveaux nombres pour rendre l'opération possible. Bravo ! Et dans le cas qui nous intéresse, ces nombres sont les nombres à virgule ou plus précisément les fractions.
Pour l'instant, nous connaissons les nombres entiers. Je rappelle ce schéma tiré du chapitre précédent :
Ou plutôt, devrait-on les représenter de cette façon :
Car oui, c'est bien le problème des nombres entiers : il y a des trous.
Prenons un exemple : si on veut diviser 6 par 2, il n'y a pas de problème car il y a bien un nombre entier au milieu de
0 et de 6 :
Par contre, si on veut diviser 7 par 2, il a un problème : là ou devrait se trouver le résultat, il y a un trou !
Bon alors là, je ne vous le cache pas : on a du pain sur la planche !
Alors c'est parti, on retrousse nos manches et on va les boucher, ces trous.
Je vous propose de commencer par celui qui se trouve entre 0 et 1.
Une fois qu'on aura fait celui là, les autres se feront tout naturellement de la même manière.
Juste une minute, je vais chercher ma loupe pour qu'on y voit mieux
...
Ah, la voilà ! Alors agrandissons un peu notre
précédent dessin pour mieux voir ce qui se passe entre 0 et 1.
Puisqu'il faut bien commencer quelque part, nous allons commencer par découper notre intervalle en dix morceaux.
Pourquoi 10 ? Hé hé, je suis sur que vous vous en rappelez. Sinon un petit retour au chapitre précédent ne vous ferait pas de mal. C'est par ici !
C'est parce que nous comptons en base 10.
Mais ne brûlons pas les étapes, tout ceci s'éclaircira bientôt.
Alors, il vient ce découpage en dix ? Oui, oui le voilà, hop :
Vous remarquerez ici, qu'en divisant l'intervalle en 10, on ne créé que 9 nouveaux nombres !
Ce genre de décalage est très classique en mathématique.
Dans le même genre d'idées avez vous déjà remarqué que si vous partez en
vacances du 10 juillet au 20 juillet, ça vous fait 11 jours de vacances et non 10 comme
pourrait nous le laisser penser une simple soustraction.
Réfléchissez y, c'est tout à fait logique ! Et à l'avenir méfiez vous lorsque vous comptez des intervalles :
vous verrez souvent apparaître ces décalages diaboliques !
Ces neuf nouveaux nombres, nous allons les écrire avec une nouvelle notation. Voilà la virgule !
Allez, comme je suis gentil je vous fais même le schéma :
Vous pouvez remarquer que si on ajoute le nombre 0 après la virgule, cela ne change rien : 0 = 0,0 !
C'était la première étape. Il reste encore des trous. Il n'y a plus qu'à recommencer
.
On recoupe chacun des dix petits trous en dix
et on numérote ces nouveaux nombres en ajoutant un deuxième chiffre après la virgule.
Ouf ! Ça fait un dessin très chargé. J'espère que vous me pardonnerez si je ne fais pas un troisième chiffre après
la virgule.
De toute façon, une fois que vous avez compris le principe, vous saurez sans problème ajouter vous même un quatrième, un cinquième chiffre après la virgule. Et ainsi de suite.
Et quand on a fait tout ça, on obtient même des nombres avec une infinité de chiffres après la virgule !
Et bien entendu, une fois qu'on en a fini avec le trou compris entre 0 et 1, il n'y a plus
qu'à recommencer avec celui qui se trouve entre 1 et 2
!
Puis avec ceux entre 2 et 3, entre 3 et 4, etc.
On refait la même chose dans l'autre sens entre les entiers négatifs pour obtenir les nombres à virgules négatifs.
Attention toutefois ici : les nombres à virgule négatifs sont en quelque sorte l'image miroir des
nombres à virgule positifs. Ce qui signifie que ceux qui sont compris entre -4 et -3 par exemple
s'écrivent -3,... et non pas -4,...
Si vous avez l'habitude des nombres à virgule cela ne vous surprendra pas.
Pour un nombre négatif x, la partie qui se trouve avant la virgule
n'est pas le plus petit entier qui se trouve avant x mais le plus grand entier qui se trouve après !
Piouf ! Ça en fait des nombres en plus tout ça !
À la fin du chapitre précédent nous connaissions les nombres entiers (naturels et relatifs), maintenant nous en connaissons beaucoup plus. Tout ces nouveaux nombres que nous venons de créer s'appellent les nombres réels.
Nombres réels ?? Mais alors pourquoi ce chapitre s'appelle Les nombres rationnels
.
Ah... Un peu de patience ça vient.
Alors voilà un problème de réglé : il n'y a plus de trous, on peut maintenant faire des division à tire-larigot, rien
ne nous en empêchera.
Mais voilà que surgit un deuxième problème : comment faire le calcul ?
Eh oui, si par exemple si je vous demande combien fait 15 divisé par 7, comment vous y prendrez vous ?
Un peu de réflexion vous permettra sans doute de trouver que ce nombre se trouve entre 2 et 3
(parce que 7 tient deux fois dans 15 mais n'y tient pas trois fois).
Mais pour ce qui est de trouver les chiffres après la virgule, alors là !
Remarquez, vous avez peut-être déjà appris à faire une division à l'école. Sinon, vous y arriverez avec un peu d'astuce et de patience. Toujours est-il que dans les deux cas : calculer une division, c'est fatigant !
Et la solution la voici : les divisions, on ne les fait pas !
C'est parce qu'on est fainéants que l'on invente une nouvelle façon d'écrire les nombres qui sont le résultat d'une division : les fractions.
Une fraction se compose de trois éléments :
La fraction
est tout simplement le résultat de la division de a par b. Autrement dit
. C'est simple, non ?
Ça pour être simple, c'est simple, seulement dit comme ça, tes fractions on a un peu l'impression qu'elle servent à rien.
En réalité, les fractions simplifient énormément les calculs dans de très nombreux cas !
Prenons un exemple, la multiplication :
.
Si on écrit ces nombres avec une virgule, cela donne :
Et le nombre de chiffres après la virgule est infini dans les deux cas !
Je vous laisse imaginer la galère pour faire cette multiplication
!
Si on utilise les fractions en revanche, tout devient très simple : il suffit de multiplier les deux numérateurs pour obtenir le numérateur du résultat et les deux dénominateurs pour obtenir le dénominateur du résultat. C'est-à-dire :
Et si vous êtes un adorateur des nombres à virgule, rien ne vous empêche de faire la division maintenant :
= 0,214285714...
Ce que je ne vous ait pas expliqué, c'est pourquoi, il suffit de multiplier les numérateurs et les dénominateurs pour obtenir le résultat. Et aussi, comment fait-on les additions de fractions ? Ça, nous le verrons dans la deuxième partie de cette leçon dans un chapitre tout spécialement réservé aux fractions.
Juste un dernier point sur la prononciation des fractions. Il faut prononcer tout d'abord le numérateur, suivi de la version fractionaire du dénominateur :
Par exemple,
se prononce
un tiers
,
se prononce
trente-deux vingt-sixièmes
...
Les fractions (c'est-à-dire tous les nombres qui sont le résultat d'une division de deux nombres entiers) sont appelés les nombres rationnels.
Eh ! Attend une minute. Tout à l'heure tu nous as dit que les nombres à virgules
s'appelaient les nombres réels, et maintenant tu nous dit que les fractions
sont les nombres rationnels !
Mais les fractions sont bien aussi des nombres à virgule non ? (il suffit de faire la division)
Alors, rationnels ou réels ? Réels ou rationnels ? Là il nous faut un peu plus d'explications.
L'explication la voilà : Les fractions sont des nombres à virgule, mais tous les nombres à virgule ne sont pas des fractions. Il existe des nombres à virgule que l'on ne peut pas obtenir en divisant deux nombres entiers.
Tout à l'heure, quand nous avons bouché les trous entre les nombres entiers, nous avons inventé
tous les nombres nécessaires pour pouvoir faire des divisions. Oui mais voilà :
on en a inventé trop !!
Vous voulez un exemple ?
Avant cela, il faut que je vous dise une chose : quand on divise deux entiers, on obtient un nombre à virgule et ses chiffres après la virgule forment un cycle. Ils tournent en rond.
Par exemple :
| = | 0,666666666 ... | |
| = | 1,142857 142857 142857 142857 ... | |
| = | 0,1 36 36 36 36 36 ... |
Notez que pour les nombres qui n'ont pas une infinité de chiffres après la virgule, on
peut toujours considérer qu'ils ont un nombre infini de chiffres après la virgule qui
sont des zéros à partir d'un certain rang : 2,234 = 2,2340000000000...
Donc même ces nombres ont bien un cycle (un cycle de 0).
Vous vous demandez certainement comment cela ce fait que les divisions de nombre entier donnent toujours des cycles de cette façon. Ici, encore une fois, nous tombons sur un point un peu technique qui demande un peu plus d'explications. Tout ça sera détaillé dans le chapitre sur la division de la partie 2.
Maintenant, vous êtes prêt, vous n'aurez pas de mal à dénicher un nombre à virgule qui n'est pas une fraction.
Prenons le nombre suivant : 0,123456789101112131415161718... Si je met des espaces peut-être verrez-vous mieux pourquoi j'ai choisi ce nombre : 0,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18... J'ai juste collé les un derrière les autres tous les nombres en partant de 1 et ainsi de suite jusqu'à l'infini. Pour info, ce nombre s'appelle la constante de Champernowne d'après le nom du statisticien anglais David Gawen Champernowne qui l'a étudié.
Comme on a mis tous les nombres les uns à la suite des autres, vous comprenez que ces chiffres après la virgule
ne tournent pas en rond. Il n'y a pas de cycle. Conclusion : ce nombre là n'est pas une fraction !
Bien entendu, vous pourrez sans problème en inventer d'autre, des nombre réels qui ne sont pas
des nombres rationnels : il suffit que les chiffres après la virgule ne fasse pas de cycle jusqu'à l'infini.
Voilà ! on touche à la fin de ce chapitre. Vous voyez que les fractions ce n'est pas si compliqué que ça. C'est même une astuce qui permet de ne pas faire les calculs. Pour conclure, je vous propose ce petit schéma récapitulatif de tous les nombres que nous connaissons maintenant :
Vous croyez peut-être que nous allons nous arrêter en si bon chemin ? Mais pas du tout : on continue.
Dès le prochain chapitre, nous allons créer une nouvelle opération et de nouveaux nombres !
(Je n'ose pas vous souffler leur nom : ils s'appellent les nombres complexes,
et ils le portent bien car en effet, les ennuis vont bientôt commencer...
gnark)
 |
Chapitre suivant Retour à la liste des chapitres Chapitre précédent |
Pour me contacter : contact@micmaths.com
Powered by Connectix Boards © 2005-2010 (0 queries, 0 sec)
Toute reproduction totale ou partielle est interdite sans l'accord des auteurs.