Les nombres complexes

Qu'allons nous faire dans ce chapitre ? Mais, continuer bien sûr ! En commençant par inventer une nouvelle opération faisant plusieurs multiplications les unes à la suite des autres. Non, non, les mathématiques ne sont pas monotones. Vous allez voir, quelques petites surprises vont pimenter notre parcours. Mais je ne vous en dit pas plus pour l'instant. Préservons le suspens...

Voici le plan de ca chapitre :

Itérer la multiplication : les nombres en puissance
Problème de commutativité !
La racine et le logarithme
Les nombres complexes

Itérer la multiplication : les nombres en puissance

Au début d'une expérience, j'ai mis une bactérie dans une éprouvette. Ensuite, à chaque heure qui passe, chaque bactérie se divise en deux. Question : combien en ai-je dans mon éprouvette au bout de deux heures ?

La réponse est assez facile : au bout de la première heure ma première bactérie s'est divisée en deux, puis chacune de ces deux nouvelles bactéries se divisée en deux dans la deuxième heure, ce qui fait un total de 2×2 = 4 bactéries.

Bien, jusque là, facile. Alors une deuxième question : et au bout de 5 heures ?

On sait bien faire des multiplications, alors on y va : 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 bactéries.

C'est ça, alors troisième question. Et au bout d'un jour (24 heures) ?

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 16 777 216 bactéries !
Ouf !

Et encore, je ne vous demande pas combien de bactéries sont apparues au bout d'un an ou d'un siècle !

Tout cela est trop long à écrire, il est donc temps d'inventer une nouvelle notation. Et cette notation, c'est la puissance.

Si $x$ et $y$ sont des entiers naturels, la multiplication de $y$ fois le nombre $x$ (c'est-à-dire $x*x*x*...*x*x$ s'écrit avec un $x$ auquel on ajoute un petit $y$ en haut à gauche : $x^y$ .

Dans l'exemple précédent, le nombre de bactéries au bout d'un jour est $2^24$ . Celui au bout d'un mois (30 jours) est $2^(24*30)$ .

Un petit point sur la prononciation : $x^y$ se lit $x$ puissance $y$ . Le nombre $y$ s'appelle l'exposant (et le nombre $x$ n'a pas de nom).
Il y a deux cas particuliers. Si l'exposant est 2, $x^2$ peut se lire $x$ au carré à la place de $x$ puissance 2 (mais si vous préférez prononcer $x$ puissance 2 rien ne vous empêche ). Et si l'exposant est 3, on peut dire $x$ au cube à la place de $x$ puissance 3 (mais là encore ce n'est pas obligatoire).

Mais pourquoi dit-on au carré ou au cube si l'exposant est 2 ou 3 ?

Pour la raison suivante : le produit $xy$ peut s'interpréter comme la surface d'un rectangle de longueur $x$ et de largeur $y$ . Par conséquent $x²=x*x$ est la surface d'un carré de côté $x$ . D'où le $x$ au carré.
Et le produit $xyz$ est le volume d'un pavé de largeur $x$ , de longueur $y$ et de profondeur de $z$ . Donc $x³=x*x*x$ est le volume d'un cube de côté $x$ . D'où le $x$ au cube.

Nous reviendrons plus profondément sur ces interprétations géométrique dans le chapitre consacré à la multiplication dans la partie 2.

Une petite remarque qui aura pas mal d'importance dans la suite : un nombre au carré est toujours positif. Ceci est une conséquence de la règle des signes :

Si $x$ est positif, alors $x²$ l'est aussi car $x² =x*x$ est le produit de deux nombres positifs.
Si $x$ est négatif, alors $x²$ est positif car $x² =x*x$ est le produit de deux nombres négatifs et on sait que Moins × Moins = Plus.

Conclusion : un nombre carré est toujours positif. Avec un raisonnement semblable, vous n'aurez pas de mal à voir que une puissance est toujours positive si son exposant est un multiple de 2.
Retenez ça, nous en aurons besoin à la fin du chapitre.

Les puissances sont des nombres qui peuvent très vite devenir très grands ; beaucoup plus grand même que ce que l'on pourrait s'imaginer. Ceci est illustré par la célèbre légende de l'invention du jeu d'Échecs par Sissa.

La légende dit que Sissa, venant d'inventer le jeu d'Échecs, le présenta à son souverain. Celui-ci fut aussitôt séduit par le jeu et proposa à Sissa de choisir lui-même la récompense qu'il souhaitait. Tout le monde s'attendait à ce que ce dernier demande des choses de grande valeur, mais ce n'est pas ce qu'il fit.

Il prit un plateau de son jeu qui comportait 8×8 = 64 cases et demanda que l'on déposa un grain de riz sur la première de ces cases. Puis sur la deuxième case deux grains de riz, sur la troisième quatre grains de riz, sur la cinquième huit grains de riz, et caetera en doublant le nombre de grains à chaque case jusqu'à la soixante-quatrième.

Sissa demanda comme récompense l'ensemble des grains de riz qui se trouveraient sur le plateau à la fin.

Au début, tout le monde fut surpris par l'apparente modestie de la demande. Cependant, lorsque l'on commença à placer les grains de riz sur l'échiquier et que l'on fit les calculs, ce fut la surprise !

Bien entendu, vous avez reconnu les puissances du nombre 2 qui apparaissent dans cette histoire comme dans celle des bactéries. Dans ce cas, vous ne serez pas surpris que je vous dise que sur la case numéro n, le souverain doit placer $2^(n-1)$ grains de riz.

Attention au décalage. Sur la case 3, il y a 4 grains, c'est-à-dire $2^2$ . Puis sur la case 4 il y en a $2^3$ , sur la case 5 il y en a $2^4$ ...
Il y a un décalage de 1 entre le numéro de la case et l'exposant de la puissance.

Ainsi, sur la soixante quatrième et dernière case, il doit placer $2^63$ grains de riz. Or $2^63 = 9 223 372 036 854 775 808$ . Plus de neuf milliards de milliards de grains de riz !

Pour vous donner une idée de ce nombre, en comptant qu'il y a 6 milliards d'être humains sur la planète terre et que chacun d'entre eux peut se nourir avec dix mille grains de riz par jour, il y a de quoi nourrir toute l'humanité pendant 421 ans ! Uniquement avec la dernière case.

Si on compte toute les cases, on double ce temps et on peut nourir l'humanité pendant 842 ans. On peut aussi calculer que tous ces grains de riz mis bout à bout pourraient faire deux cent cinquante mille fois l'aller retour de la terre au soleil.

Je vous laisse vous amuser à calculer toutes les chose extraordinaire que l'on pourrait faire avec autant de grains de riz. J'espère en tout cas vous avoir convaincu de la dimension gigantesque que peuvent prendre les nombres dès que l'on fait intervenir des puissances.

Pour illustrer le même genre de chose, je vous propose un petit jeu. Un jeu d'argent !

Proposez à un ami le pari suivant. Le jeu durera 30 jours. Pas un de plus, pas un de moins.

Le premier jour, vous donnerez 300 000€ à votre ami, en échange de quoi, il vous donnera 1 centime.
Le deuxième jour, vous lui donnerez à nouveau 300 000€, et lui vous donnera 2 centimes.
Le troisième jour, vous lui donnez toujours 300 000€ et lui, vous donne 4 centimes.
Et ainsi de suite. Chaque jour, vous lui apportez la même somme : 300 000€, tandis que lui vous donne le double de ce qu'il vous a donné la veille.
Le 30e jour, la même chose pour la dernière fois, puis chacun repart avec ses gains ou ses pertes, la partie s'arrête là.

Alors à votre avis, qui gagne ? Vous ou votre ami ?

Pour calculer la somme que vous allez verser à votre partenaire, c'est simple : une multiplication suffit. 300 000 euros par jour pendant 30 jours donnent 30×300 000 = 9 000 000 euros. Neuf millions !

Maintenant reste à savoir combien il va vous donner. Vous l'aurez reconnu, il s'agit encore de puissances. Ainsi, le dernier jour il vous versera $2^29$ = 536 870 912 centimes d'euros. Soit plus de 5 millions d'euros. Ce n'est pas assez pour combler ce que vous lui avez donné, mais il y a les autres jours.

Le 29ème jour, il vous a versé plus de 2,5 millions d'euros. Et le 28ème plus d'un million. Si vous faîtes l'addition exacte, vous verrez que sur ces trois jour, il vous aura versé près de 9,4 millions d'euros, c'est à dire plus que les 9 millions que lui vous a donné au total. Donc vous gagnez !

Si vous avez le courage de faire le calcul, vous constaterez qu'à la fin du jeu vous aurez gagné 1 737 418,23 €.

Surprenant, non ?

Conclusion de ces deux exemples : les puissances n'augmentent pas vite, elles augmentent TRÈS TRÈS TRÈS vite ! Et encore, il ne s'agissait que des puissances de 2. Les puissances de 3, de 4... augmentent encore plus vite. C'est souvent assez déroutant. La vitesse à laquelle les puissances augmentent est ce que l'on appelle en mathématique la vitesse exponentielle.

Problème de commutativité !

Ahaha ! J'en étais sûr ! J'étais sûr qu'elle finirait par nous poser des problèmes la commutatimachin, avec un nom pareil !

Et oui : elle n'est pas commutative, la puissance. Pour nous en convaincre, rien de tel qu'un petit exemple :

Prenons les nombres 3 et 4. Alors :

$3^4$ = 3×3×3×3 = 81,
$4^3$ = 4×4×4 = 64.

Et bien évidemment, 81 n'est pas égal à 64. Donc la puissance n'est pas commutative.

Vous pouvez remarquer ici, la différence de méthode pour prouver que la puissance n'est pas commutative, par rapport à celle qui nous avait prouvé que la multiplication est commutative. En général, il est plus facile de prouver qu'une propriété est fausse que de vérifier qu'elle est vraie. Pour montrer qu'elle est fausse, il suffit de brandir UN contre-exemple. En revanche, pour montrer qu'elle est vraie, il faut montrer qu'elle est vraie pour TOUS les nombres, d'où la nécéssité de faire un raisonnement car comme il y a une infinité de nombres, on ne peut pas tous les vérifier un à un.

Bon d'accord la puissance n'est pas commutative, mais on ne va tout de même pas en faire un drame ! Est-ce qu'on s'en est vraiment servi de la commutativité de la multiplication et de l'addition pour faire ce qu'on a fait dans les deux chapitres précédents ? Est-ce que ça nous pose vraiment des problèmes pour la suite que ça ne marche pas ici ?

Oui, ça change pas mal de choses et vous allez vite comprendre pourquoi.

Vous vous rappelez que pour la soustraction et la division qui sont les opérations contraire de l'addition et de la multiplication, il y a deux interprétations différentes (sinon, c'est là... et là).

Prenons par exemple la division 18÷3=6. La division est l'opération contraire de la multiplication donc cela siginfie deux choses :

Que 6 est le nombre par lequel il faut multiplier 3 pour obtenir 18 : 6×3=18.
Que 6 est le nombre qui multiplié par 3 va donner 18 : 3×6=18.

Et cela, bien entendu revient au même car la multiplication est commutative : 3×6 = 6×3.

Autrement dit, si je veux faire l'inverse de la multiplication 3×6 = 18, il y a deux possiblités :

Si je veux récupérer le 3, je fais 18÷6=3. Je fais une division.
Si je veux récupérer le 6, je fais 18÷3=6. Je fais aussi une division.

Dans le cas de la puissance, il y a aussi deux façons d'interpréter l'opération contraire. Mais comme les deux nombres qu'on utilise pour faire une puissance ne jouent pas je même rôle, cette fois ci, ces deux interprétations ne vont pas aboutir au même résultat. Conclusion : la puissance va avoir deux opérations contraires !

Ces deux opérations sont la racine et le logarithme qui sont l'objet de la partie suivante. (Quel enchaînement !! )

La racine et le logarithme

Supposons que je vienne de faire une puissance, disons par exemple $4^5 = 1024$ . Seulement, je veux maintenant faire l'opération dans l'autre sens pour récupérer le 4 ou le 5 à partir du 1024.

Comme je l'ai déjà dit, on ne va pas utiliser la même opération pour récupérer le 4 ou le 5.

Si je veux récupérer le 4, j'utilise la racine : $5v1024 = 4$ .
Si je veux récupérer le 5, j'utilise le logarithme : $\log_{4}(1024) = 5$ .

Bon je l'avoue, a première vue, ces deux opérations se notent d'une façon un peu bizarre. Nous allons maintenant voir séparément comment elles s'utilisent.

La racine

La racine, on vient de le voir, est l'opération contraire que la puissance qui permet de récupérer le nombre qui est mis à la puissance à partir du résultat et de son exposant.
Quelques exemples pour être sûr que vous avez bien compris.

$2^9=512$ donc $9v512 = 2$ .
$3^1=3$ donc $1v3 = 3$ .
$5^3=125$ donc $3v125 = 5$ .
$4^4=256$ donc $4v256 = 4$ .
$1,2^5=2,48832$ donc $5v2,48832 = 1,2$ .

Un point sur la prononciation : $yvx$ se lit racine $x$ -ième de $y$ . Par exemple, $9v512$ est la racine neuvième de 512.
Il y a deux exceptions :

Si l'exposant de la racine est 2 : $2vx$ est la racine carrée de $x$ . Dans le cas de la racine carrée, on est pas obligé de noter le 2. Le symbole racine sans exposant est par défaut une racine carrée. Par exemple : $v16 = 4$ .
Si l'exposant de la racine est 3 : $3vx$ est la racine cubique de $x$ .

Bien, bien, bien. Vous avez compris ce qu'est une racine. Alors c'est maintenant que les vrais ennuis vont commencer.

Ennui n°1. Il y a des racines qui sont impossibles. Bon, ça je l'avoue ce n'est pas le pire des ennuis. Nous nous sommes déjà retrouvés deux fois dans des situations similaires et donc la solutions vous devez déjà la connaître : s'il y a des racines impossibles, on invente de nouveaux nombres pour les rendre possibles.

Mais quelles sont les racines impossibles ?

Ce sont les racines de nombre négatifs quand l'exposant est un multiple de 2. Par exemple pour une racine carrée : $v-1$ est une opération impossible !

La raison de cette impossibilité, c'est qu'un nombre au carré est toujours positif. (Vous vous en rappelez, je l'ai dit au début du chapitre.)

Pour expliquer ça le mieux possible, rien de tel qu'un petit schéma. Voici des nombres que l'on met au carré :

Le résultat est toujours positif. La racine carrée c'est l'opération dans l'autre sens, on inverse la flèche :

Seulement si on veut prendre la racine carrée d'un nombre négatif, ça ne marche pas, car dans la colonne de gauche, il n'y a aucun nombre dont le carré est négatif !

Bon qu'il y ait des nombres qui n'aient pas de racines, ça ne nous affole pas trop car on commence à bien connaître ce genre de situation. Il suffira d'inventer des nombres nouveaux pour donner une racine au nombres négatifs. Et c'est ce que nous ferons à la fin de ce chapitre avec les nombres complexes.

Cependant, il y a un deuxième problème qui lui est assez nouveau :

Ennui n°2. Les nombres positifs ont plusieurs racines carrées ! Ou plus précisément, ils en ont deux qui sont opposées l'une de l'autre.

En effet, $x$ et $-x$ ont le même carré : $(-x)^2 = x^2$ .
Par exemple :

Voilà qui pose un vrai dilemme. Combien vaut la racine carrée de 49 dans ces condition ? 7 ou -7 ?

C'est pourquoi, on choisi une convention : une racine carrée est toujours positive. Et si on veut l'autre on met un signe moins devant.

Mais surtout, ne perdez jamais de vue dans la suite que celà n'est qu'une notation, c'est-à-dire un choix. Il n'y a aucune raison si vous avez un nombre dont le carré est 49 que ce nombre soit 7 plutôt que -7.

Est-ce que c'est vraiment embêtant que les nombres positifs aient deux racines ?

Oui et non.
Oui à première vue car ça casse le rythme de tout ce que l'on faisait jusque là. Nous étions habitués à des opérations qui n'avaient qu'un seul résultat. La racine va nous obliger à changer notre façon de voir les choses.
Et non car ce que nous considérons pour l'instant comme un problème va en réalité nous conduire vers de nouveaux concepts et de magnifiques théories.

Mais laissons la racine de côté quelques instants pour présenter le logarithme.

Le logarithme

Le logarithme est l'opération inverse de la puissance qui permet de récupérer l'exposant. Voici quelques exemples (je ne vais pas me fatiguer, je reprend les mêmes que pour la racine ) :

$2^9=512$ donc $\log_{2}(512) = 9$ .
$3^1=3$ donc $\log_{3}(3) = 1$ .
$5^3=125$ donc $\log_{5}(125) = 3$ .
$4^4=256$ donc $\log_{4}(256) = 4$ .
$1,2^5=2,48832$ donc $\log_{1,2}(2,48832) = 5$ .

Si on reprend l'exemple des bactéries du début, le logarithme en base 2 permet de retrouver le nombre d'heures qui se sont écoulées depuis le début de l'expérience à partir du nombre de bactéries.
Par exemple, si je vous dit que j'ai 2048 bactéries, il suffit de calculer : $\log_{2}(2048)=11$ et vous en déduisez que l'expérience a débuté il y a 11 heures.

On peut noter que le logarithme en base 10 permet de compter le nombre de chiffres d'un nombre. En effet, on a :

$10^{2}=100$ donc $\log_{10}(100) = 2$ .
$10^{3}=1000$ donc $\log_{10}(1000) = 3$ .
$10^{4}=10000$ donc $\log_{10}(10000) = 4$ .
$10^{5}=100000$ donc $\log_{10}(100000) = 5$ .
...

Ainsi le logarithme en base 10 d'une puissance de 10 compte son nombre de 0. Ce qui est logique puisque à chaque fois que l'on multiplie par 10, on rajoute un 0 et on augmente l'exposant donc le logarithme de 1.
Un dernier exemple : $\log_{10}(10000000000000) = 13$ . 10000000000000 a 13 zéros donc son logarithme en base 10 est 13.

Bon maintenant, prenons un autre nombre : 23 459 432. Ce nombre est compris entre 10 000 000 (7 zéros) et 100 000 000 (8 zéros), donc son logarithme est compris entre 7 et 8. Son nombre de chiffres est 8.

C'est pour cela que je disais que le logarithme en base 10 compte le nombre de chiffres. Si maintenant, je vous dis que $\log_{10}(x) = 123,456$ alors pouvez-vous me dire combien de chiffres a le nombre $x$ ?
La réponse est 130. Il suffit de prendre le logarithme en base 10 et de l'arrondir à l'entier supérieur.

Nous avons vu que les puissances sont des nombres parfois très très grands. L'avantage du logarithme, c'est qu'il ramène les très très grands nombres à des dimensions plus raisonnables. Ainsi, il est courant que quand des quantités peuvent prendre des valeurs beaucoup plus grandes que d'autres, on les exprime sur une échelle logarithmique, c'est-à-dire que l'on regarde leur logarithme plutôt que leur vraie valeur.

La célèbre échelle de Richter qui mesure l'amplitude des tremblements de terre est une échelle logarithmique. Et plus précisément, une échelle logarithmique de base 10. Ceci signifie que lorsque vous entendez aux informations qu'un séïsme de force 5 sur l'échelle de Richter a eu lieu. Le nombre 5 n'est pas l'amplitude du tremblement de terre mais son logarithme en base 10. Son amplitude en réalité est de $10^5 = 100000$ . Et un séïsme de force 6 sur l'échelle de Richter a une amplitude de $10^6 = 1000000$ c'est à dire 10 fois plus qu'un séïsme de force 5.

Donc si un tremblement de terre a une amplitude de 234732, sa force sur l'échelle de Richter est $\log_{10}(234732) ~ 5,37$ . (Le signe $~$ signifie environ égal car j'ai arrondi le logarithme au deuxième chiffre après la virgule.)

Autrement dit à chaque fois que l'on augmente de 1 sur l'échelle de Richter, l'amplitude du tremblement de terre est multipliée par 10 ! Ainsi, un séïsme de force 8 n'est pas deux fois mais dix mille fois plus fort qu'un séïsme de force 4.

On se rend bien compte qu'une échelle logarithmique est plus adaptée pour décrire les séïsmes. Par exemple si on veut placer graphiquement les différentes forces sur l'échelle de Richter on obtient :

Intensité des séïsmes sur l'échelle de Richter. Erreur lors du chargement de l'image.

Alors que si on veux tracer directement l'amplitude des tremblements de terre on obtient quelque chose de beaucoup moins lisible :

Intensité des séïsmes sur l'échelle des amplitudes. Erreur lors du chargement de l'image.

Les petites amplitudes sont tassées les une sur les autres au point 0 car elles sont toutes minuscules par rapport au séïsme le plus fort !

Voici quelques autres exemples pour lesquels on utilise une échelle logarithmique :

Le pH. C'est une échelle de 0 à 14 utilisée en chimie pour mesurer l'acidité d'un liquide. Plus c'est proche de 0 plus c'est acide. À 7 c'est neutre. Et plus c'est proche de 14 plus c'est basique (basique c'est le contraire d'acide).
Les notes de la game en musiques. Les sons sont des vibrations de l'air. Plus l'air vibre vite plus le son est aigu. Les notes de musique sont réparties selon le logarithme en base 2 du nombre de vibrations par seconde. Autrement dit un la aigu vibre deux fois plus vite qu'un la grave de la game en-dessous qui lui même vibre 2 fois plus vite que le la encore plus grave de la game en dessous. Si on prend deux ré à trois games d'intervalle, le plus aigu vibre 8 fois plus vite que le plus grave.
La magnitude des étoiles. La magnitude mesure la luminusité des étoiles sur une échelle logarithmique de base 2,5 (plus exactement 2,511886432...). C'est un cas un peu particulier puisqu'il s'agit d'une échelle logarithmique inversée. C'est à dire que les étoiles les plus brillantes sont celles qui ont la plus petite magnitude.
Par exemple, une étoile de magnitude 3 est 2,5 fois plus brillante qu'une étoile de magnitude 4. Le soleil est tellement brillant qu'il a une magnitude négative : -26,7. La pleine lune est à -12,6. Les étoiles que l'on voit la nuit se situent entre -2 et 5. À condition que le ciel soit dégagé et qu'il n'y ait pas de lumière à proximité, l'œil nu est capable de distinguer des étoiles jusqu'à une magnitude de 6. Au dela, il faut un téléscope ou du matériel d'observation astronomique.

Une dernière chose : il n'est pas toujours possible de prendre le logarithme d'un nombre dans n'importe quelle base. En voici quelques exemples :

$\log_{1}(14)$ n'existe pas car 1 à n'importe quelle puissance donne toujours 1 donc on ne peut pas obtenir 14.
$\log_{2}(-8)$ n'existe pas car 2 à n'importe quelle puissance donne toujours un nombre positif donc on ne peut pas obtenir -8.
$\log_{-5}(7)$ n'existe pas car car on ne sais pas mettre les nombres négatifs à une puissance qui n'est pas un nombre entier. (Vous me direz pour l'instant je ne vous ait pas dit non plus comment on pouvait mettre un nombre positif à la puissance d'un nombre à virgule. Pourtant c'est possible : je vous expliquerai ça dans le chapitre sur la puissance. Pour les nombres négatifs en revanche, ce n'est vraiment pas possible !)

Bon, ça fait vraiment beaucoup d'opérations qu'on ne sait pas faire, il est vraiment temps de retrousser ses manches et d'inventer les nouveaux nombres que je vous promets depuis le début du chapitre.

Les nombres complexes

Les nombres complexes sont les nouveaux nombres que l'on crée lorsqu'on veut prendre la racine carrée d'un nombre négatif.

Mais avant de commencer, je veux vous mettre en garde : les nombres complexes sont un sujet vaste, très vaste. Plusieurs encyclopédies n'arriveraient pas à en faire le tour !
Dans cette partie, je vais me contenter de vous les introduire. Je leur consacrerai certainement un jour une leçon toute entière. Mais vous êtes prévenus ne vous attendez pas à tout comprendre du premier coup.

Bienvenue dans l'imaginaire !

On ne sait pas faire les racines de nombres négatifs, qu'à ce la ne tienne. Je prend un nombre négatif. Disons -1. Je prend sa racine : $V(-1)$

Et voilà j'ai inventé un nouveau nombre ! Bon alors il faut lui trouver un joli nom. Que pensez vous de Maurice ? Hum, non. Où alors Joséphine ? Non plus ? Ah, ça y est, j'ai trouvé : on va l'appeler i.

Pourquoi i ?

Parceque i comme imaginaire. Les nouveaux nombres que nous créons en prenant la racine des nombres négatifs s'appellent les nombres imaginaires.

On appelle ces nombres imaginaires par opposition aux nombres réels parce qu'ils sont beaucoup plus abstraits. Pour l'instant, tous les nombres que nous avions pouvaient représenter une quantité. Par exemple un nombre de kilomètres entre deux villes, le prix d'une baguette de pain ou encore la température de l'air.
Les nombres imaginaires ne représentent pas une quantité. Ils sont très utiles pour faire de nombreux calculs, ils servent de base à de nombreuses théories très utiles mais ils nous servent ~~rarement~~ jamais en tant que tels dans la vie de tous les jours. À un tel point que beaucoup de gens ne savent même pas qu'ils existent !

En bref, si vous aimez les exemples concrets, vous allez être déçus. Nous passons à un niveau d'abstraction supérieur .

Figurez-vous que j'ai une bonne nouvelle : L'invention du nombre i suffit pour pouvoir calculer toutes les racines de tous les nombres négatifs.

Par exemple sauriez vous trouver une racine carrée de -4 à partir de i ?

Réponse : 2i. En effet, $(2i)^2 = 2i*2i = (2*2)*(i*i) = 4*(-1)=-4$ . Vous avez vu qu'on a utilisé la commutativité de la multiplication. Le carré de 2i est -4, ce qui prouve bien que 2i est une racine carrée de -4.

Plus généralement, si on prend un nombre négatif $-a$ ( $a$ est un nombre positif) alors on constate que le nombre $i\sqrt{a}$ (c'est à dire i multiplié par la racine de $a$ ) est une racine de $-a$ . (Et la racine de $a$ existe bien puisque $a$ est positif ! ) Donc tous les nombres négatifs ont trouvé leur racine carrée. Les nombres imaginaires sont tout simplement les multiplications de i avec un nombre réel. Par exemple 3i ou 17,24i ou encore -16,5i tous ces nombres sont des nombres imaginaires.

Ça va vous suivez encore ? Je vous avait prévenus que les nombres complexes faisaient faire de la gymnastique de l'esprit ! Encore une fois, ne vous inquiétez pas si vous ne comprenez pas tout du premier coup, ça finira par venir.

Minute. Tu nous embrouille encore là. Tu nous dit que les nouveaux nombres inventés sont les nombres imaginaires alors que le titre du chapitre c'est Les nombres complexes ?

Bien observé. Ça fait plaisir de voir qu'il y en a qui suivent. En fait les nombres imaginaires ce sont tous les nombres qui sont des racines de nombres négatifs. Les nombres complexes ce sont tous les nombres que l'on peut calculer à partir des nombres réels et des nombres imaginaires avec les opérations que l'on connait déjà.

Par exemple, si on prend notre nouveau nombre i et qu'on lui ajoute 3. On obtient i+3 qui est un nombre complexe mais qui n'est ni un nombre réel ni un nombre imaginaire.
Plus généralement, on obtient un nombre complexe en additionnant un nombre imaginaire et un nombre réel.

Recette pour faire un nombre complexe :

Commencez par former un nombre imaginaire. Pour cela, prenez un nombre réel et multipliez le avec i. Il s'écrit donc sous la forme ai, où a est le nombre réel.
Prenez ensuite un second nombre réel. Par exemple b.
Ajoutez votre nombre imaginaire et votre nombre réel pour obtenir ai+b.
Voilà ! Votre nombre complexe est terminé, vous n'avez plus qu'à le déguster accompagné de toutes sortes de calculs très compliqués !

Voici quelques exemples de nombres complexes :

i+1
4i+17
3,5i-2
5000i-34567
-0,001i+12
et caetera

Le plan complexe

Vous vous rappelez que dans le chapitre précédent, nous avions bouché les trous entre les nombres entiers pour obtenir les nombres réels. Les nombres réels se représentent par une droite :

Les nombres réels remplissent une droite.

Mais horreur : si on a bouché tous les trous, il n'y a plus de place. Où va-t-on pouvoir mettre i et les autres nombres complexes ?

Pas de panique. S'il n'y a plus de place dans la droite, prenons un plan !

Dans un plan, il y a plein de place libre.

En fait il y a de la place partout ! Il y a tellement de place qu'on a l'embaras du choix. Alors où est-ce qu'on place le nombre i ?

La première réfelxion qu'on peut se faire, c'est qu'il est logique de placer i à distance une distance 1 du nombre 0. Tout simplement parceque i est la racine de -1, et que le nombre -1 est à une distance 1 du nombre 0.

Autrement dit, on va placer i sur le cercle de centre 0 et de rayon 1 :

Mais ou va-t-on le placer sur ce cercle ? En fait, il n'y a pas spécialement de raison de le placer selon un angle particulier, donc le plus simple est de le mettre à la verticale du nombre 0. Et d'ailleurs si vous étudiez un peu plus en détails les nombres complexes, vous vous rendrez rapidement compte que c'est le meilleur choix car il est bien pratique que sur le cercle, i soit à mi-chemin entre 1 et -1.

J'ai décider de le placer au dessus de 0, mais on aurait pu aussi bien le mettre en dessous. Après c'est une habitude : en général, tout le monde place i au dessus de 0.

Bon ensuite on peut facilement placer tous les nombres imaginaires sur la droite verticale :

Les nombres imaginaires dans le plan complexe

Vous remarquez que le nombre 0 est le seul à être à la fois réel et imaginaire. Le nombre 0 est imaginaire car 0 = 0i. On peut aussi considérer que 0 est un nombre négatif (en fait il est à la fois négatif et positif puisqu'il est à la frontière) et comme 0 est sa propre racine, il est bien la racine carrée d'un nombre négatif.

Bien, les nombre imaginaires c'est fait. Il reste à placer tous les autres nombres complexes.

Nous avons vu que les nombres complexes étaient la somme d'un nombre imaginaire et d'un nombre réel. Autrement dit, tout nombre complexe possède une partie imaginaire et une partie réelle. Pour nous y retrouver du mieux possible, nous allons essayer de ranger les nombres complexes dans le plan selon leur partie imaginaire et leur partie réelle.

Nous allons placer tous les nombres qui ont la même partie imaginaire sur la même ligne horizontale et tous ceux qui ont la même partie réelle sur la même ligne verticale. Un dessin vaut mieux pour comprendre :

Autrement dit, on place le nombre complexe ai+b à l'intersection de la droite verticale qui passe par b et de la droite horizontale qui passe par ai.

Et voilà ! On les a tous placés. Vous pouvez vous rendre compte qu'il y a vraiment beaucoup de nombres complexes car maintenant, le plan est complètement rempli. Au début on pensait qu'on avait largement la place, mais finalement, il fallait bien ça !

Voilà je vais m'arrêter là pour les nombres complexes. Comme je vous l'ai déjà dit, il y aurait encore beaucoup de choses à voir et à comprendre mais ce serait trop long à expliquer tout de suite.

Pour que vous ne restiez pas sur votre faim, je vais quand même vous dire un mot de ce qui se passe quand on fait des racines ou des logarithmes avec des nombres complexes.

Attention, tout ce que je vais dire à partir de maintenant, je ne vais pas l'expliquer. Je vous donne juste quelques résultats pour vous mettre l'eau à la bouche et vous donner envie de continuer. Il faudra d'abord étudier plus en profondeur les nombres complexes pour en arriver là.

Avant d'inventer les nombres complexes, nous savions que les nombres positifs avaient deux racines carrées et les nombres négatifs n'en avaient aucune.
Maintenant, tous les nombres complexes possèdent exactement deux racines carrées. Par exemple le nombre -1 possède deux racine carrées : le nombre i évidemment, mais aussi le nombre -i.

Mais il y a plus fort.
Avant, chaque nombre avait une seule racine cubique.
Maintenant, tous les nombres complexes possèdent exactement trois racines cubiques !!

Et ça continue comme ça :

tous les nombres complexes ont exactement quatre racines quatrièmes,
tous les nombres complexes ont exactement cinq racines cinquièmes,
tous les nombres complexes ont exactement six racines sixièmes,
tous les nombres complexes ont exactement sept racines septièmes,
... et ainsi de suite ...
tous les nombres complexes ont exactement n racines n-ièmes.

Épatant, n'est-ce pas ?

Et pour les logarithme alors ? Il y a aussi des opérations qu'on ne savait pas faire. On va inventer d'autres nombres pour pouvoir faire tous les logarithmes aussi ?

Alors là, j'ai une bonne nouvelle (comme quoi il ne faut jamais désespérer ). Les nombres complexes résolvent aussi le problème des logarithmes. Le résultat d'un logarithme avec un nombre négatif est un nombre complexe.

Seulement comme pour la racine il y a un petit problème. Dans les nombre complexes, les nombres ont une infinité de logarithmes. Argh !

Mais ça, pour le comprendre, il faudra revenir plus tard...
Toutes ces pistes qui s'ouvrent devant nous sont autant de graines qui font donner naissance à de magnifiques théories.

(Si avec ça vous n'avez pas envie de revenir lire la suite je ne sais plus quoi faire moi... )

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Les nombres complexes

Itérer la multiplication : les nombres en puissance

Problème de commutativité !

La racine et le logarithme

La racine

Le logarithme

Les nombres complexes

Bienvenue dans l'imaginaire !

Le plan complexe