Un petit bilan

La première partie de cette leçon touche à sa fin et ce dernier chapitre est l'occasion de faire le point sur ce que nous avons fait, sur ce que nous n'avons pas réussi à faire et sur ce sur quoi il faudra revenir plus en détail dans d'autres leçons... Pas de grosses difficultés en vue donc. Si vous avez survécu aux nombres complexes, ce chapitre devrait être une balade de santé pour vous.

Voici le plan de ca chapitre :

Où en sommes nous ?
Et après...?
Conclusion

Où en sommes nous ?

Ce que nous avons réussi...

Commençons donc par un petit bilan de cette leçon, nous avons inventé trois opérations principales (l'addition, la multiplication et la puissance) et leurs opérations inverses (la soustraction, la division ainsi que la racine et le logarithme). Ces opérations inverses nous ont à chaque fois incités à inventer de nouveaux nombres.

Le tout est résumé dans le schéma suivant :

Les nombres et les opérations. Erreur lors du chargement de l'image.

Vous aurez certainement deviné mais je préfère le dire quand même : le symbole ^ est parfois utilisé pour désigner la puissance. On peut écrire a^b à la place de a^b.

À part ça, le dessin est assez clair. S'il y a des points qui vous paraissent obscurs, n'hésitez pas à relire les chapitres précédents.

Ce qui ne marche pas...

Le schéma précédent pourrait laisser penser que tout marche à merveille et qu'aucun grain de sable ne vient enrayer la magnifique machine des nombres et des opérations.

La première chose qui ne marche pas et dont je ne vous ai pas parlé concerne la division par 0. Il n'est pas possible de diviser un nombre par 0. Je vous avais donc un peu menti lorsque je vous avais anoncé que les nombre rationnel permettait de faire toutes les divisions.

Et pourquoi donc n'est-ce pas possible ?

La première chose que l'on se dit, c'est que si on a par exemple 100 caramels mous et qu'on doit les distriber à 0 personnes, on est bien coincé. Il n'est pas possible de diviser un nombre en 0 morceaux. S'il y a 0 morceaux on ne peut pas faire de division.

Oui mais, me direz-vous, qu'est-ce qui nous empêche d'inventer un nouveau nombre qui est égal par exemple à 1 divisé par 0 ? Ce nombre n'a peut-être pas de signification concrète, mais ce n'est pas grave, les nombres complexes non plus n'ont pas de signification concrète et pourtant on les a inventés.

Très bien, alors je vous prend au mot : essayons !

Allez hop, on invente un nombre qui est égal à 1 divisé par 0 et on le note ${oo}$ . (Je n'ai pas choisi ce symbole au hasard, je vais vous expliquer dans un instant ce qu'il signifie.) On a donc 1÷0 = ${oo}$ . Ce qui revient à dire 0× ${oo}$ = 1 (car la division est l'opération inverse de la multiplication).

Alors là je vais faire un truc qui va vous épater :

On sait que 0 = 0+0 donc à la place de 0× ${oo}$ = 1, je peux écrire (0+0)× ${oo}$ = 1 ;
Puis on obtient : 0× ${oo}$ + 0× ${oo}$ = 1 ; Car on a toujours (a+b)c=ac+bc. Si cette étape ne vous paraît pas naturelle, nous reviendrons sur cette manipulation (qui s'appelle la distributivité) dans le chapitre sur la multiplication. Pour vous convaincre que c'est vrai vous pouvez essayer en remplaçant 0 par un autre nombre : (3+3)× ${oo}$ =3× ${oo}$ +3× ${oo}$ : si on a 3+3 fois ${oo}$ c'est comme si on avait 3 fois ${oo}$ et qu'on ajoutait encore 3 fois ${oo}$ .
Or 0× ${oo}$ = 1. Donc j'obtiens : 1+1 = 1 ;
Autrement dit 2 = 1 !

Et voilà le travail : si on se permet de diviser par 0, on obtient que 2=1 ! C'est le grand paradoxe de la division par 0 et c'est la raison pour laquelle on s'interdit de diviser par 0 car il n'est bien entendu pas envisageable d'accepter que 2 soit égal à 1.

Il existe des méthodes pour contourner ce problème dont je ne vous parlerai pas ici car ce n'est pas le sujet. Cependant, aucune ne permet de faire franchement une division par 0. En clair, à l'heure actuelle, aucune théorie satisfaisante n'a été inventée permettant de diviser par 0. Alors à vos neurones, mathématiciens en herbes : la gloire pour vous si vous trouvez !

Si vous voulez vous lancer dans la recherche de la division par 0, voici une piste intéressante :

Le résultat d'une division par 0 doit être un nombre infini. C'est pour cette raison que tout à l'heure j'ai noté ${oo}$ le résultat de la division 1÷0, car ${oo}$ est le symbole de l'infini en mathématiques.

Mais pourquoi le résultat d'une division par 0 serait infini ?

Aha, vous vous rappelez qu'il y a deux interprétations pour une division, $y/x$ c'est :

la quantité que l'on obtient en coupant y en x morceaux (de même taille).
le nombre de x que l'on peut faire tenir dans y.

Ça vous l'avez déjà vu dans le chapitre sur les nombres rationnels.

Dans le cas qui nous intéresse, la première interprétation ne nous mène à rien, en revanche la deuxième est intéressante : 1÷0 c'est le nombre de fois que l'on peut faire tenir 0 dans 1. Autrement dit, combien de fois puis-je verser 0 litres d'eau dans une bouteille de 1 litre ? Et là vous commencez à comprendre : la réponse est une infinité de fois. On peu verser une infinité de fois 0 litres dans une bouteille de 1 litre sans qu'elle déborde !

Oui mais même si on met une infinté de fois 0 litres dans ue bouteilles de 1 litre, la bouteille ne sera toujours pas pleine ? Autrement dit ${oo}$ ×0 vaut 0 et non pas 1.

Eh bien voyez vous, ce n'est pas si sûr ! Prenons un exemple : un segment de longueur 1. (J'empiète un peu sur les leçons de géométrie, un segment c'est une ligne droite qui relie deux points. De longueur 1 signifie que la distance entre ces deux points est égale à 1.)

Segment de longueur 1. Erreur lors du chargement de l'image.

Vous pouvez par exemple considérer qu'il s'agit de l'ensemble des nombres compris entre 0 et 1 tels que nous les avons représentés dans la leçon sur les nombres rationnels :

Le segment [0,1]. Erreur lors du chargement de l'image.

Dans ce segment, il y a une infinité de points qui tous ont une longueur égale à 0. Car un point n'a pas de dimension, sa longueur est 0. Pourtant tout ces points mis bout à bout forment un segment de longueur 1.
Autrement dit : une infnité de points de longueur 0 = un segment de longueur 1. C'est-à-dire : ${oo}$ ×0 = 1. Alors, vous voyez bien qu'une infinité de fois 0 peut remplir entièrement 1.

C'est assez déroutant au début. Mais avouez que c'est tout de même très amusant !

En bref, le résultat de 1 divisé par zéro doit être infini. Cependant, l'infini en mathématiques est quelque chose de très dangereux qu'il faut manipuler avec précaution car on arrive très vite à des paradoxes comme celui que je vous ai montré (1=2).

Bon je m'arrête là sur la division par 0 et l'infini. Si vous avez des idées pour résoudre ces paradoxes, à vous de jouer !

En attendant, j'espère vous avoir convaincu qu'il ne fallait pas diviser par 0.

La division par 0 n'est pas la seule opération que l'on ne peut pas faire. Cependant, la plupart des autres opérations impossibles découle du même problème. Voici ces opérations impossibles :

La puissance 0^a n'est pas définie si a est strictement négatif. En effet, 0^a = 1/(0^-a) = 1/0. (Car comme -a est strictement positif, 0^-a=0.) Ce qui revient à faire une division par 0 !
La racine 0-ième d'un nombre n'est pas définie. Ceci sera expliqué dans le chapitre sur la racine.
Le logarithme en base 1 d'un nombre n'est pas défini. Voir le chapitre sur le logarithme (Ah lala, des promesses, toujours des promesses ! )
Le logarithme de 0 n'est pas défini. S'il l'était, il serait aussi égal à un nombre infini. (Hum, vous irez voir le chapitre sur le logarithme ? )

Le dernier point est un peu plus particulier, en revanche les trois premiers sont tous directement liés au fait qu'on ne puisse pas diviser par 0. Si l'on savait résoudre le problème de la divison par 0, ces trois points seraient automatiquement résolus eux aussi.

La division, la puissance, la racine, le logarithme ! Il nous embête vraiment le 0. C'est à se demander si on a si bien fait de l'inventer au tout début de la leçon !

Et après...?

Si on oublie les tracas que nous cause le 0, la première chose qu'on a envie de dire quand on en est là c'est : allez hop, c'est reparti on invente une nouvelle opération en itérant la puissance, on invente l'opération inverse, on trouve des nouveaux nombres et on recommence dans la joie et la bonne humeur.

Navré de vous vous stopper dans votre élan, mais ce n'est pas si simple que ça. Nous n'allons pas inventer d'autres nombres après les nombres complexes.

Et pourquoi donc ?

J'ai deux bonnes raisons :

Première raison : Les nombres dont nous disposons nous ouvrent déjà de très larges perspectives. Avant d'essayer d'inventer de nouveaux nombres, on ferait mieux d'apprendre à connaître ceux qu'on a déjà, c'est-à-dire les nombres complexes.

Deuxième raison : L'associativité. Haha ! Je sentais que vous étiez triste depuis le début de la leçon je ne vous avait pas appris de nouveau mot barbare.
L'associativité c'est quand on peut faire plusieurs opérations à la suite sans mettre de parenthèses. Par exemple la multiplication est associative car on peut écrire : 3×5×1×6 = 90. On a pas besoin de mettre de parenthèses pour dire quelles multiplications on fait en premier. Autrement dit, peu importe l'ordre dans lequel on effectue les multiplications, le résultat est toujours le même :

(3×5)×(1×6) = 90 ;
(3×(5×1))×6 = 90 ;
3×(5×(1×6)) = 90.

L'addition aussi est associative.

Par contre la puissance ne l'est pas ! Si on écrit directement $3^{2^4}$ , c'est ambigu car si on fait d'abord la puissance du haut on obtient : $3^{2^4}=3^16=43046721$ . Alors que si on fait d'abord la puissance du bas : $(3^2)^4=9^4=6561$ . Le résultat n'est pas le même !

La conséquence de cela, c'est que si on veut itérer la puissance pour obtenir l'opération suivante, il y a plusieurs façon de le faire. L'ordre dans lequel on effectue les puissances donne des résultats différents. Il y a donc plusieurs opérations suivantes pour la puissance.

Autant dire que ça complique pas mal les choses. Inutile de préciser qu'aucune de ces différentes opérations n'est commutative ni associative, elles ont donc toutes plusieurs opérations inverses ainsi que plusieurs opérations suivantes.
C'est bon, je vous ai mis le moral à zéro ?

... les puissances itérées de Knuth

Donald Knuth

Bon allez, faites-moi quand même un sourire, tout n'est pas perdu. Je vous ai gardé quelques nouvelles opérations pour la fin. L'informaticien américain Donald Knuth (né en 1938) a inventé en 1976 une notation pour les opérations suivantes, notation qui porte son nom : les puissances itérées de Knuth.

Pour contourner le problème de l'associativité, il considère que l'on commence toujours par faire les opérations par la fin. Ainsi, pour lui, la notation $3^{2^4}$ désigne $3^{(2^4)}$ .

À partir de là, Knuth invente toutes les opérations qui suivent la puissance en les notant de la façon suivante :

La puissance : Il change un peu la notation de la puissance en écrivant $a\uparrow b$ à la place de $a^b$ .

L'opération après la puissance : On met deux flèches au lieu d'une seule. Ainsi, $a\uparrow\uparrow b$ signifie que l'on itère b fois la puissance de a. Autrement dit :

$a\uparrow\uparrow b=a^a^...^a$

où la puissance de a est répétée b fois.

Par exemple, $5\uparrow\uparrow 3=5^5^5=5^25 = 298 023 223 876 953 125$ .

Cette opération grandit encore plus vite que la puissance (qui pourtant on l'a déjà vu donne des nombres très grands). Et on ne s'arrête pas là.

La deuxième opération après la puissance : Cette fois on met trois flèches. $a\uparrow\uparrow\uparrow b$ signifie que l'on itère b fois l'opération 2-flèches de a.

$a\uparrow\uparrow\uparrow b = a\uparrow\uparrowa\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow a$

où les deux flèches sont répétées b fois ! (Et en vous rappellant toujours que l'on fait les opérations en partant de la droite car évidemment ces opérations ne sont pas associatives)

Et on continue de cette façon indéfiniment, on peut définir l'opération 3-flèches qui répète plusieurs fois l'opération 2-flèches. Puis l'opérations 4-flèches, l'opérations 5-flèches et ainsi de suite.

Voulez-vous savoir quel est le plus grand nombre jamais utilisé dans une démonstration de mathématiques ?

Âmes sensibles s'abstenir : le nombre que je vais vous montrer est PRODIGIEUSEMENT GRAND !!! Vous pouvez encore renoncer à lire ce paragraphe tant qu'il est encore temps parce que ça fait vraiment peur.

Vous êtes encore là ? Soit. À vos risques et périls. Le nombre dont il est question se nomme le nombre de Graham, du nom du mathématicien États-Unien Ronald Graham (né en 1935).

Considérons la suite suivante :

Le premier terme de la suite est 4.
Le deuxième terme de la suite est $3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3$ : Il y a 4 flèches car le précédent terme de la suite est 4. Notez que ce nombre là est déjà extraordinairement plus grand que le nombre de particules dans l'univers connu ! Si vous n'êtes pas convaincu, essayez de le calculer pour voir.
Le troisième terme est $3\uparrow\uparrow......\uparrow\uparrow 3$ , où le nombre de flèches est égal au terme précédent de la suite (oui, oui : celui qui est plus grand que le nombre de particule dans l'univers...) Normalement, c'est à cet instant là que votre cerveau explose...
Le quatrième terme est $3\uparrow\uparrow..........\uparrow\uparrow 3$ , où le nombre de flèches est toujours égale au terme précédent (celui-là même qui a fait exploser votre cerveau il y a deux secondes)...
...

Et on continue ainsi la suite où à chaque étape, le nombre de flèches est égal au terme précédent.

Le nombre de Graham est le 64^ème terme de cette suite. Je crois qu'à ce point là, ça se passe de commentaires.

Après avoir vu ça, le nombre un milliard doit vous paraître ridiculement minuscule et désormais vous y réfléchirez à deux fois avant d'utiliser l'adjectif grand !

Conclusion

Voilà, cette première partie de la leçon sur les nombres est terminée. Si certains points vous paraissent encore flous, ne vous inquiétez pas, nous allons revoir ces notions plus dans le détail dans la partie 2.

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