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Nous écrivons les nombres avec dix chiffres. Seulement dans l'histoire, les hommes n'ont pas toujours noté les nombres de la même façon. Dans ce chapitre, nous allons suivre les principales étapes qui ont conduit à l'apparition de notre système de numération positionnel (nous allons voir ce que ça veut dire 
) et pourquoi ce système est meilleur que les autres.
Voici le plan de ce chapitre :
Mettez-vous un instant à la place des hommes et des femmes qui vivaient dans ces siècles lointains où aucune façon de noter les nombres n'avait été établie. Vous êtes un berger qui compte ses moutons ou un agriculteur qui compte ses sacs de blés. Alors comment vous y prendriez-vous pour noter vos résultats dans vos registres ou sur vos tablettes ?
La première idée qui vient, la plus simple, c'est de faire une marque pour chaque unité. Par exemple un petit baton vertical. Voici comment noter 24 :
Cette méthode, nous l'avons tous utilisée au moins une fois dans notre vie. Que ce soit pour compter les voix d'un vote, pour compter les jours, pour énumérer des pièces, des points d'un jeu ou des étoiles filantes...
En fait il existe un raffinement de cette méthode qui consiste à faire des paquets de 5 :
De cette façon, il est plus facile de se recompter.
Cette méthode, c'est grosso modo celle qu'utilisèrent la plupart des premières civilisations. Il y a juste quelques variantes sur les symboles utilisés pour noter les unités et les paquets.
L'une des premières traces d'une méthode de comptage est l'os Ishango vieux d'environ 23 000 ans et découvert en 1950 au bord du lac Édouard dans l'actuelle République démocratique du Congo.
L'os mesure 10,2 cm et on y voit clairement des entailles. Servaient-elles à compter les animaux tués à la chasse ? Était-ce une sorte de calendrier comptant les jours ? Il y a de nombreuses interprétations possibles et on ne sait pas aujourd'hui quelle est la bonne.
Regardons quelques exemples de systèmes numériques plus élaborés utilisés par différentes civilisations.
Voici les symboles utilisés dans l'Égypte antique :
À noter que la civilisation égyptienne s'est étendue sur plusieurs millénaires donc il y a eu de très nombreuses variantes.
Vous remarquez que les paquets se font d'abord par groupes de 10, mais on ne s'arrête pas là puisqu'il y a également des symboles spéciaux pour des groupes plus grands : 100, 1000, 10 000, et cætera.
Par exemple, 2314 s'écrit :
Les grecs quant à eux, réutilisaient les lettres de leur alphabet pour écrire leurs nombres. Les unités :
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||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Les dizaines :
| o |  |
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| 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 |
Les centaines :
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||||||||
| 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 |
L'avantage du système grec sur l'égyptien, c'est qu'il faut moins de symboles pour écrire les nombres. Par exemple, 538 s'écrit :
c'est-à-dire avec trois symboles alors qu'il en faudrait 16 dans le système égyptien (5 centaines + 3 dizaines + 8 unités).
Mais en contrepartie, le système grec utilise beaucoup plus de symboles différents : il faut 27 lettres différentes pour écrire tous les nombres de 1 à 999 alors qu'il n'en fallait que 3 aux égyptiens !
Comme ils ne pouvaient pas inventer des symboles indéfiniment, les grecs commencent à réutiliser les mêmes à partir de 1000. Les milliers s'écrivent avec les mêmes symboles que les unités, précédés d'une sorte de virgule appelée aristerí keréa :
|
||||||||
| 1000 | 2000 | 3000 | 4000 | 5000 | 6000 | 7000 | 8000 | 9000 |
Pour les dizaines de milliers, on place un M sous les symboles des unités :
| M |
M |
M |
M |
M |
M |
M |
M |
M |
| 10 000 | 20 000 | 30 000 | 40 000 | 50 000 | 60 000 | 70 000 | 80 000 | 90 000 |
Les chiffres romains nous sont mieux connus que les égyptiens ou les grecs car nous les utilisons encore régulièrement, par exemple pour numéroter les siècles, les rois, les chapitres de livres, certaines horloges...
Voici les symboles utilisés :
| I | V | X | L | C | D | M |
| 1 | 5 | 10 | 50 | 100 | 500 | 1000 |
Il y a une petite variante dans la numérations romaines par rapport aux deux précédentes. Si jamais on met un symbole avant un symbole plus grand, alors il faut le soustraire et non l'ajouter. Par exemple, IX signifie 10-1=9 et non pas 11 qui s'écrit XI. Ainsi 900 s'écrit CM.
En chiffres romains, le nombre 438 s'écrit : CDXXXVIII.
Voici les symboles qu'utilisaient les aztèques :
Vous pouvez remarquer que les nombres aztèques ne suivent pas qu'une progression par groupe de 10 comme les égyptiens (1, 10, 100, 1000...) mais également de par groupe de 20 : 20, 400=20×20 et 8000=20×20×20.
Par exemple, le nombre 16 461 s'écrivait :
La méthode des égyptiens, des grecs, des romains et des aztèques (et de beaucoup d'autres civilisations je ne vous les fait pas toutes 
) semble bien pratique à première vue mais possède tout de même un gros défaut : plus on veut écrire des grands nombres, plus il faut de symboles différents. Et si on voulait vraiment pouvoir écrire tous les nombres, il faudrait une infinité de symboles.
Prenons l'exemple des égyptiens, leur plus grand symbole a une valeur de 10 000 000. Les égyptiens pour écrire le nombre 1 000 000 000 (un milliard), n'ont donc pas d'autre choix que d'écrire 100 fois de suite le symbole de 10 000 000. 
Pas très pratique tout ça ! Alors bien sûr on pourrait rajouter un symbole pour le milliard, mais que se passerait-il alors quand on voudrait écrire mille milliards ?...
Bref, il y avait toujours un moment où les égyptiens et les autres civilisations ci-dessus étaient bloquées car elles ne pouvaient pas inventer une infinité de symboles. Même s'il est vrai qu'à ces époques, on avait probablement beaucoup moins besoin de grands nombres qu'aujourdhui : un troupeau de bétail devait quand même rarement dépasser les mille milliards de bêtes ! 
alors que de nos jours nous serions bien embêtés pour compter le nombre d'étoiles dans la galaxie, de cellules dans le corps humain et plein d'autres quantités courantes en science sans notre écriture moderne des nombres...
Pour pallier à ce problème, il fallait une bonne idée...
La bonne idée, les babyloniens l'ont eue très tôt : la notation positionnelle. Donner une valeur différente aux symboles selon la position où ils sont écrits. On trouve les premières traces d'un tel système sur des tablettes babyloniennes datées entre 2300 et 1600 av. J.C.
La ville de Babylone se situait en Mésopotamie, environ à 100 km au sud de Bagdad dans l'actuel Irak. Cette zone est souvent considérée comme le berceau de la civilisation puisque c'est notamment là que l'écriture a été inventée vers 3200 av. J.C. À cette époque, cependant, Babylone n'existait pas encore : sa domination sur la région se développera en gros à partir de 2000 av. J.C. Mais sa réputation est devenue telle qu'on qualifie aujourd'hui de babylonienne
la notation des nombres qui a commencé à se développer quelques siècles auparavant.
Voyons la méthode babylonienne pour noter les nombres.
Ce qu'il faut savoir c'est que les babyloniens n'utilisaient pas la base 10 comme nous, mais la base 60. C'est à dire qu'ils regroupaient leurs nombres par paquet de 60, puis de 3600=60×60, puis de 21600=60×60×60...
Commençons donc par les nombres de 1 à 59. Les unités étaient notées de la façon suivante :
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
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| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Les babyloniens faisaient ensuite des groupes de 10 qu'ils notaient ainsi :
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 |
 |
 |
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| 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
De cette façon, le nombre 37 par exemple était écrit avec 3 dizaines et 7 unités :
Jusque là, rien de très différent de ce que nous avons vu jusqu'à présent me direz-vous. La différence c'est qu'à patir de 60, les babyloniens font des paquets qu'ils notent de la même manière. Ainsi par exemple, le nombre
signifie : 3 paquets de 60 et 12 unités. Le nombre écrit est donc 192.
De la même façon le nombre
signifie : 1 paquet de soixante paquets de soixante + 12 paquets de soixante + 43 unités
c'est à dire 3600+720+43=4363.
Notez l'exploit : les babyloniens pouvaient ainsi noter TOUS les nombres entiers avec seulement deux symboles, alors que les grecs avaient du mal à en faire autant avec presque 30 symboles !
Pourtant, les babyloniens n'ont pas poussé leur idée à fond et, de ce fait, se sont retrouvés avec un système plutôt bancal.
La civilisation babylonienne est antérieure aux civilisations grecque, romaine et aztèque, alors pourquoi ces dernières n'ont pas adopté le système positionnel si celui-ci est tellement meilleur ?
Tout d'abord comme je l'ai déjà dit, dans l'antiquité on avait beaucoup moins besoin de noter des grands nombres qu'aujourd'hui, donc l'avantage du système babylonien n'était pas aussi flagrant à cette époque. Ensuite, les babyloniens n'ont pas poussé le principe de la notation par position jusqu'au bout. On peut considérer qu'il y a deux failles.
La première n'est pas vraiment une faille mais plutôt une maladresse. Vous aurez remarqué que jusqu'à 59, le système est similaire à ceux des égyptiens des romains ou des aztèques : on additionne les symboles unités et les symboles paquets de 10
. Ce n'est qu'à partir de 60 que l'on commence à utiliser la numération par position. Ce mélange des genres peut provoquer des confusions. Par exemple quel est le nombre suivant ?
Est-ce le nombre 2 ? Ou bien est-ce le nombre 61, composé d'un paquet de 60 et d'une unité ? Difficile à dire.
Pour éviter les problèmes, les scribes babyloniens collaient clairement les deux unités s'il s'agissait du nombre 2, tandis qu'ils les séparaient nettement s'ils voulaient écrire 61. Dans l'exemple ci-dessus, j'ai été un peu malhonnête en laissant entre les deux un écart ambigu. 
La seconde faille est en revanche nettement plus grave, c'est que les babyloniens ne conaissaient pas le zéro. Or c'est précisément avec l'invention du zéro que le système de numération par position révèle toute sa puissance !
Selon vous, comment écrit-on le nombre 60 en babylonien. Tout simple me direz-vous : un paquet de 60 et 0 unité :
Aie ! Ce nombre s'écrit de la même façon que le nombre 1. Pour pouvoir faire la distinction entre les deux, il faudrait pouvoir indiquer que dans le nombre 60, il n'y a pas d'unités. Autrement dit, il faudrait un symbole pour indiquer l'absence d'unités, un zéro quoi.
Les bayloniens ont pourtant longtemps fait sans le zéro. Ce n'est qu'au troisième siècle avant J.C. qu'on voit apparaître le signe suivant :
qui est le premier zéro de l'hitoire. Et le nombre 60 pouvait alors s'écrire
sans confusion possible. Mais à cette époque, la civilisation mésopotamienne avait déjà depuis longtemps commencé à décliner et disparut ensuite peu à peu. Ce sont les indiens qui plus tard vont reprendre le concept du zéro et mettre au point le système de numération décimal par position que nous utilisons encore aujourd'hui.
Le système indien contient dix symboles, dont un zéro, et a connu un grand succès dans le monde entier. Ces symboles ont largement évolué au cours des époques et des régions où ils ont été utilisés.
Voici une généalogie de différents symboles utilisés :
Vous remarquerez que les dernières versions tout en bas ressemblent beaucoup aux chiffres que nous connaissons : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Ces dix chiffres s'appellent les chiffres arabes.
Quoi ? Mais pourquoi chiffres arabes
alors que ce sont les indiens qui les ont inventés ?!
La plus ancienne description complète de ce système numérique est due au mathématicien perse Al-Khawarizmi (v. 783-v. 850) qui écrivait ses ouvrages en langue arabe. Al-Khawarizmi lui même appelle ces nombres nombres hindous
dans ses ouvrages. C'est ensuite à travers ses travaux que que les européens ont découvert ces chiffres qu'ils se sont empressés d'appeler chiffres arabes
. Voilà l'affaire !
Cette fois, le système est bien rodé. Avec le zéro aucune ambiguité, par exemple, le nombre 703 signifie : 7 paquets de 100, 0 paquets de 10 et 3 unités. Je suppose que vous connaissez déjà un peu ça...
Les indiens, comme la plupart des autres civilisations (même celles qui n'utilisent pas la notation par position), ont choisi de regrouper leurs unités par paquets de dix. Mais que se passe-t-il si on regroupe les unités par paquet de 2, de 19, de 41728 ou de n'importe quel autre nombre ?
À vrai dire, pas grand chose. Le nombre de chiffres que l'on utilise s'appelle la base. Nous comptons donc en base dix mais on peut compter en n'importe quelle base supérieure à deux. Bien sûr, les autres bases peuvent nous paraître étranges tellement nous sommes habitués à notre bonne vieille base dix, mais passé le premier étonnement, le mécanisme est vraiment identique.
Voici quelques exemples :
Le système binaire, c'est-à-dire la base deux, est surtout utilisée en informatique. C'est en effet la base dans laquelle les ordinateurs font leurs calculs. En base deux, il n'y a que deux chiffres : 0 et 1. Pour les ordinateurs, 0=le courant ne passe pas
et 1=le courant passe
.
Voici les premiers nombres écrits en binaire :
Vous remarquerez que dans les explications, j'écris les nombres en toutes lettres pour qu'il n'y ai pas de confusions possibles avec une écriture en base dix. 
L'inconvénient d'avoir peu de chiffres c'est que les nombres ont une taille plus grande. Par exemple, 64 s'écrit avec sept chiffres : 1000000.
Allez, une petite blague.
Il y a 10 sortes de personnes : celles qui comprennent le binaire et celles qui ne le comprennent pas.
Voici les trente premiers nombres écrits en base quatre :
Je ne détaille pas plus que ça, en réfléchissant vous devriez maintenant pouvoir comprendre et compléter de vous-même cette liste de nombre en base quatre.
La base hexadécimale, c'est la bases 16. Elle est aussi beaucoup utilisées en informatique car il est facile de traduire le binaire en hexadécimal et vice versa. Les chiffres utilisés sont les mêmes que la base décimale jusuq'à 9, puis les lettres de A à F : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Les nombres de 1 à 15 s'écrivent donc 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Puis les nombres de 16 à 31 : 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, et caetera.
Le nombe 4AC est égal en base dix à 4×16×16+10×16+12 = 1196.
Avant de clore ce chapitre, voici un vidéo des célèbres Shadocks, qui eux comptent en base 4.
Ce chapitre s'achève ici. Maintenant que les systèmes de numération positionnelle et les chiffres arabes n'ont plus de secrets pour vous, il reste à savoir faire des opérations avec les nombres. Nous avons vus dans la première partie de cette leçon ce que sont une addition, une soustraction, une multiplication... Il nous faudrait maintenant des méthodes qui permettent, à partir de l'écriture en base dix de deux nombres de trouver l'écriture en base dix de leur addition, leur soustraction, leur multiplication, leur division...
Autrement dit, il va falloir apprendre à faire des calculs. C'est ce que nous allons voir pas à pas dans les chapitres suivants.
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